Question

8．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，D为AB的中点，∠EDF=90°，DE交AC于点G，DF经过点C．
（1）求∠ADE的度数；
（2）如图2，将图1中的∠EDF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），旋转过程中的任意两个位置分别记为∠E₁DF₁，∠E₂DF₂，DE₁交直线AC于点P，DF₁交直线BC于点Q，DE₂交直线AC于点M，DF₂交直线BC于点N，求$\frac{PM}{QN}$的值；
（3）若图1中∠B=β（60°＜β＜90°），（2）中的其余条件不变，判断$\frac{PM}{QN}$的值是否为定值？如果是，请直接写出这个值（用含β的式子表示）；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据含30°的直角三角形的性质和等边三角形的性质解答即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质以及直角三角形中的三角函数解答即可；
（3）由（2）的推理得出$\frac{PM}{QN}$，再利用直角三角形的三角函数解答．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=DB，
∴∠DCB=∠B，
∵∠B=60°，
∴∠DCB=∠B=∠CDB=60°，
∴∠CDA=120°，
∵∠EDC=90°，
∴∠ADE=30°；
（2）∵∠C=90°，∠MDN=90°，
∴∠DMC+∠CND=180°，
∵∠DMC+∠PMD=180°，
∴∠CND=∠PMD，
同理∠CPD=∠DQN，
∴△PMD∽△QND，
过点D分别做DG⊥AC于G，DH⊥BC于H，

可知DG，DH分别为△PMD和△QND的高
∴$\frac{PM}{QN}$=$\frac{DG}{DH}$，
∵DG⊥AC于G，DH⊥BC于H，
∴DG∥BC，
又∵D为AC中点，
∴G为AC中点，
∵∠C=90°，
∴四边形CGDH 为矩形有CG=DH=AG，
Rt△AGD中，$\frac{DG}{AG}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
即$\frac{PM}{QN}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
（3）是定值，定值为tan（90°-β），
∵$\frac{PM}{QN}=\frac{DG}{DH}$，四边形CGDH 为矩形有CG=DH=AG，
∴Rt△AGD中，$\frac{DG}{AG}$=tan∠A=tan（90°-∠B）=tan（90°-β），
∴$\frac{PM}{QN}$=tan（90°-β）．

点评 此题考查几何变换问题，关键是根据直角三角形的性质和相似三角形的判定进行解答．