Question

3．在平面直角坐标系中，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点M为顶点，连接OM．若y与x的部分对应值如表所示：

x	…	-1	0	3	…
y	…	0	$\frac{3}{2}$	0	…

（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，C为线段OM上一点，过C作x轴的平行线交线段BM于点D，以CD为边向上作正方形CDEF，CF、DE分别交此抛物线于P、Q两点，是否存在这样的点C，使得正方形CDEF的面积和周长恰好被直线PQ平分？若存在，求C点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，平移此抛物线使其顶点为坐标原点，P（0，-1）为y轴上一点，E为抛物线上y轴左侧的一个动点，从E点发出的光线沿EP方向经过y轴上反射后与此抛物线交于另一点F，则当E点位置变化时，直线EF是否经过某个定点？如果是，请求出此定点的坐标，不是则说明理由．

Answer 1

分析 （1）从表中选取两组数据代入抛物线解析式中，求出b、c即可；
（2）首先求出直线MB的解析式，进而表示出E，F，P，Q的坐标，利用正方形CDEF的面积的周长恰好被直线PQ平分，则CP=EQ，求出m的值即可；
（3）首先根据光的反射可知：点F在点E关于y轴的对称点E₁和点P所成的直线上，设出点E的坐标，表示出E₁，求出直线PE₁，联立抛物线求出交点F的坐标，求出直线EF的解析式，确定出所过的顶点即可．

解答 解：（1）将（-1，0）（0，$\frac{3}{2}$）代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}-b+c=0}\\{c=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$；
（2）如图1，
∵M（1，2），B（3，0），设直线MB的解析式为：y=kx+d，
则$\left\{\begin{array}{l}{k+d=2}\\{3k+d=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{d=3}\end{array}\right.$，
∴直线MB的解析式为：y=-x+3．
设C（m，2m），∴D（3-2m，2m），
∴正方形CDEF的边长为：3-3m，
∴E（3-2m，3-m），F（m，3-m），P（m，-$\frac{1}{2}$m²+m+$\frac{3}{2}$），Q（3-2m，-2m²+4m），
∵正方形CDEF的面积的周长恰好被直线PQ平分，
∴PQ过正方形的中心，
∴CP=EQ，
∴（-$\frac{1}{2}$m²+m+$\frac{3}{2}$）-2m=（3-m）-（-2m²+4m），
整理得：5m²-8m+3=0，
∴解得：m₁=$\frac{3}{5}$，m₂=1（舍去），
∴C（$\frac{3}{5}$，$\frac{6}{5}$）；
（3）如图2

∵平移抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$使其顶点为坐标原点，
∴平移后的抛物线为：y=-$\frac{1}{2}$x^{2 ①}，
由光的反射定律可知：点F在点E关于y轴的对称点E₁和点P所确定的直线上，
设点E（m，-$\frac{1}{2}$m²），则点E关于y轴的对称点E₁（-m，-$\frac{1}{2}$m²），
设直线PE₁：y=px+q，
把点E₁，点P坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{m}^{2}=-mp+q}\\{-1=q}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{p=\frac{{m}^{2}-2}{2m}}\\{q=-1}\end{array}\right.$，
∴直线PE₁：y=$\frac{{m}^{2}-2}{2m}$x-1  ②
联立①②，把①代入②得：$-\frac{1}{2}{x}^{2}$=$\frac{{m}^{2}-2}{2m}$x-1，
解得：x₁=$\frac{2}{m}$，x₂=-m（舍去）
此时：y=$-\frac{2}{{m}^{2}}$，
所以：点F（$\frac{2}{m}$，$-\frac{2}{{m}^{2}}$），
设直线EF：y=fx+g，把点E，点F坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{m}^{2}=mf+g}\\{-\frac{2}{{m}^{2}}=\frac{2}{m}f+g}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{f=-\frac{{m}^{2}+2}{2m}}\\{g=1}\end{array}\right.$，
∴直线EF：y=-$\frac{{m}^{2}+2}{2}$x+1，
当x=0时，y=1，
所以：则当E点位置变化时，直线EF经过定点（0，1）．

点评 此题主要考察二次函数的综合问题，会运用待定系数法求抛物线和直线的解析式，熟悉正方形的性质和光的反射定律的运用是解题的关键．