Question

13．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A（-2，0）、B（4，0）、C（O，3）三点，连接AC，该二次函数图象的对称轴与x轴相交于点D．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）已知点P是该抛物线上一动点，是否存在点P，使以点P、C、D、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4），将点C（0，3）代入可求得a=-$\frac{3}{8}$，将a的值代入可求得抛物线的解析式；
（2）连接BC交抛物线的对称轴与点Q．由轴对称图形的性质可知AQ=BQ，则CQ+AQ=CQ+BQ，当点C、B、Q在一条直线上时QC+AQ有最小值，即△ACQ的周长有最小值，设直线BC的解析式为y=kx+b，将点B、C的坐标代入可求得直线BC的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3，将x=1代入直线BC的解析式可求得点Q的坐标；
（3）本题分三种情况：①PC∥DB，那么C点与点P关于x=1对称，因此可直接写出P点坐标；②PD∥BC，设DP的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+b，将点D的坐标代入可求得点b的值，然后将一次函数与二次函数的解析式联立可求得点P的坐标；③PB∥DC，依据②中的方法可求得点P的坐标．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4），
将点C（0，3）代入得：-8a=3．
解得：a=-$\frac{3}{8}$，
∵a=-$\frac{3}{8}$，
∴抛物线的解析式为y=$-\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x+3．
（2）存在．
如图所示：连接CB，交抛物线的对称轴与点Q，连接AQ．

∵x=-$\frac{b}{2a}$，
∴x=1．
∵AC的长度为固定值，
∴当AQ+CQ有最小值时，△ACQ的周长最小．
∵点A与点B关于x=1对称，
∴AQ=QB．
∴AC+CQ=CQ+BQ．
∴当点C、Q、B在一条直线上时，AC+CQ有最小值．
设BC的解析式为y=kx+b．
将点B、C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{3}{4}$，b=3．
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{3}{4}x+3$．
将x=1代入得：y=-$\frac{3}{4}$+3=$\frac{9}{4}$．
∴点Q的坐标为（1，$\frac{9}{4}$）．
（3）①当PC∥DB时，
∵PC∥DB，
∴C点与点P关于x=1对称．
∴点P的坐标为（2，3）．
②当PD∥BC时，设DP的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+b．
将D（1，0）代入得：$-\frac{3}{4}$+b=0．
解得：b=$\frac{3}{4}$．
∴直线DP的解析式为y=$-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}$．
将y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{4}$与y=$-\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x+3联立得$-\frac{3}{4}x$+$\frac{3}{4}$=-$\frac{3}{8}{x}^{2}$+$\frac{3}{4}$x+3．
解得：x₁=-$\sqrt{10}$+2，x₂=$\sqrt{10}$+2．
将x=-$\sqrt{10}+2$代入直线DP的解析式得y=$\frac{3\sqrt{10}-3}{4}$．
∴点P的坐标为（-$\sqrt{10}+2$，$\frac{3\sqrt{10}-3}{4}$）．
将x=$\sqrt{10}+2$代入直线DP的解析式得：y=-$\frac{3\sqrt{10}+3}{4}$．
∴点P的坐标为（$\sqrt{10}+2$，-$\frac{3\sqrt{10}+3}{4}$）．
③当PB∥DC时．设直线DC的解析式为y=k₁x+b₁．
将点C、D的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}+{b}_{1}=0}\\{{b}_{1}=3}\end{array}\right.$．
解得：k₁=-3，b₁=3．
直线DC的解析式为y=3x+3．
设DP的解析式为y=-3x+b₂．将点B的坐标代入得：b₂=12．
则DP的解析式为y=-3x+12．
将y=-3x+12与y=$-\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x+3联立得：-3x+12=$-\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x+3．
解得：x₁=4，x₂=6．
将x=6代入y=-3x+12得：y=-6．
∴点P的坐标为（6，-6）．
综上所述，点P的坐标为（2，3）或（6，-6）或（-$\sqrt{10}+2$，$\frac{3\sqrt{10}-3}{4}$）或（$\sqrt{10}+2$，-$\frac{3\sqrt{10}+3}{4}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、利用方程思想求函数的交点、轴对称图形的性质、线段的性质、梯形的定义，利用梯形的定义进行分类讨论是解题的关键．