Question

1．如图（1），已知抛物线y=x²-2x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（-1，0）．
（1）求点D的坐标；
（2）若M为直线BC下方抛物线上一动点，当△MCB面积最大时，求点M的坐标，并求出面积的最大值；
（3）如图（2），连接AC、BD并延长交于点E，求tan∠E的值．

Answer 1

分析 （1）首先将A点代入，进而求出函数解析式进而利用配方法求出顶点坐标；
（2）首先设M（m，m²-2m-3），G（m，m-3），则GM=m-3-m²+2m+3=-m²+3m，再利用S_△BCM=$\frac{1}{2}$GM（BN+ON）=$\frac{1}{2}$GM•OB求出答案；
（3）首先得出△AOC∽△DCB，进而得出∠E=∠OCB=45°，则tan∠E=1．

解答 解：（1）将（-1，0）代入y=x²-2x+c，
则1+2+c=0，解得：c=-3，
∴y=x²-2x-3                                        
=x²-2x+1-4
=（x-1）²-4
∴D（1，-4）；
（2）令y=0，则x²-2x-3=0，
解得：x₁=3，x₂=-1，
∴B（3，0），C（0，3），
∴y_BC=x-3，
如图（1），过M作NM⊥x轴交AB于N，交BC于G

设M（m，m²-2m-3），G（m，m-3），
∴GM=m-3-m²+2m+3
=-m²+3m
∴S_△BCM=$\frac{1}{2}$GM（BN+ON）=$\frac{1}{2}$GM•OB
=$\frac{1}{2}$×（-m²+3m）×3
=-$\frac{3}{2}$（m²-3m+$\frac{9}{4}$-$\frac{9}{4}$）
=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$
当m=$\frac{3}{2}$时，m²-2m-3=$\frac{9}{4}$-2×$\frac{3}{2}$-3=-$\frac{15}{4}$
∴G（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$），面积最大值是$\frac{27}{8}$；

（3）如图（2），连接CD，过D作DG⊥x轴于G，DF⊥y轴于F，
由C（0，-3），B（3，0），D（1，-4），有
CF=FD=1，OC=OB=3，
∴∠OCB=∠FCD=45°，
∴∠BCD=∠AOC=90°，
∵$\frac{AO}{OC}$=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴△AOC∽△DCB，
∴∠ACO=∠CBD，
∵∠ACB=∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠E，
∴∠E=∠OCB=45°，
∴tan∠E=1．

点评 此题主要考查了配方法求二次函数顶点坐标以及三角形面积求法和相似三角形的判定与性质等知识，正确表示出△BCM的面积是解题关键．