Question

10．已知抛物线y=-x²-2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=$\frac{1}{2}x-a$分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线MA相交于N点．
（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M、A的坐标．
（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据题意联立抛物线和直线的解析式，化为一元二次方程，运用△＞0即可求出a的取值范围和交点的坐标；
（2）根据轴对称性质表示出点P的坐标并代入抛物线，求出a的值，用△ACP的面积减去△ADC的面积即可求出△PCD的面积．

解答 解：（1）由题意联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}-2x+a}\\{y=\frac{1}{2}x-a}\end{array}\right.$，
整理得：2x²+5x-4a=0，
由△=25+32a＞0，解得：$a＞-\frac{25}{32}$，
∵a≠0，
∴$a＞-\frac{25}{32}$ 且a≠0，
当x=0时，y=a，
∴A（0，a），
∵y=-x²-2x+a=-（x+1）²+a+1，
∴M（-1，a+1）．
（2）设直线MA为：y=kx+b，代入A（0，a），M（-1，a+1）得，$\left\{\begin{array}{l}{a+1=-k+b}\\{a=b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=a}\end{array}\right.$，
所以直线MA为y=-x+a，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+a}\\{y=\frac{1}{2}x-a}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4a}{3}}\\{y=-\frac{a}{3}}\end{array}\right.$，
所以：N（$\frac{4a}{3}$，$-\frac{a}{3}$），
∵点P是N关于y轴的对称点，
∴P（-$\frac{4a}{3}$，$-\frac{a}{3}$），
代入y=-x²-2x+a，得$-\frac{a}{3}=-\frac{16}{9}{a}^{2}+\frac{8}{3}a+a$，
解得：a=$\frac{9}{4}$，或a=0（舍去），
∴抛物线为y=-x²-2x+$\frac{9}{4}$，直线BC为y=$\frac{1}{2}x-a$-$\frac{9}{4}$，
当x=0时，y=-$\frac{9}{4}$，
∴C（0，-$\frac{9}{4}$），
A（0，$\frac{9}{4}$），M（-1，$\frac{13}{4}$），
∴|AC|=$\frac{9}{2}$，
∴S_△PCD=S_△PAC-S_△DAC=$\frac{1}{2}$|AC|×|x_p|-$\frac{1}{2}$|AC|×|x_D|
=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$×3-$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$×1=$\frac{9}{2}$．

点评 此题主要考查二次函数的综合问题，会运用待定系数法求函数解析式，会求函数图象的交点和三角形的面积是解题的关键．