Question

18．如图，将边长为2$\sqrt{3}$的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形A′B′C′D′，则图中阴影部分面积为12-4$\sqrt{3}$平方单位．

Answer 1

分析 由旋转角∠BAB′=30°，可知∠DAB′=90°-30°=60°；设B′C′和CD的交点是O，连接OA，构造全等三角形，用S_阴影部分=S_正方形-S_{四边形AB′OD}，计算面积即可．

解答 解：如图，

设B′C′和CD的交点是O，连接OA，
∵在Rt△ADO和Rt△AB′O中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB′}\\{AO=AO}\end{array}\right.$AD=AB′，
∴Rt△ADO≌Rt△AB′O，
∴∠OAD=∠OAB′=30°，
∵AD=2$\sqrt{3}$，tan∠OAD=$\frac{OD}{AD}$，
∴OD=OB′=2，
S_{四边形AB′OD}=2S_△AOD=2×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2=4$\sqrt{3}$，
∴S_阴影部分=S_正方形-S_{四边形AB′OD}=12-4$\sqrt{3}$．
故答案为：12-4$\sqrt{3}$．

点评 此题考查旋转的性质，正方形的性质，三角形全等的判定，特殊角的三角函数，掌握的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变是解决问题的关键．