Question

3．如图，抛物线y=-$\frac{4}{5}{x^2}+\frac{24}{5}$x-4与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点M，P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上），分别过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为D、E，连接点MD、ME．
（1）求点A、B的坐标．
（2）△MDE能否是以∠DME为直角的等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标；若不能，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，设直线PC交x轴于点F，第一象限内是否存在点Q，使△OCF与△PFQ相似，且相似比为4：3？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）抛物线y=-$\frac{4}{5}{x^2}+\frac{24}{5}$x-4与x轴相交于点A、B，可以求得点A、B的坐标；
（2）先判断，然后画出合适的图形，从而可以求得点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，根据题目要求可知符合要求的有三种情况，从而可以得到点Q的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{4}{5}{x^2}+\frac{24}{5}$x-4与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，
∴当y=0时，0=-$\frac{4}{5}{x^2}+\frac{24}{5}$x-4，得x₁=1，x₂=5，
当x=0时，y=-4，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（5，0），点C的坐标为（0，-4），
即点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（5，0）；
（2）△MDE能以∠DME为直角的等腰直角三角形，
设△MDE为等腰直角三角形，设PC与对称轴交于N，如下图一所示，

由已知可得，MD=ME，∠DMA=∠EMN，AD⊥CP，
∴∠ADM=∠NEM=135°，
在△AMD和△NME中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DMA=∠EMA}\\{MD=ME}\\{∠ADM=∠NEM}\end{array}\right.$
∴△AMD≌△NME（ASA）
∴AM=MN，
∵抛物线y=-$\frac{4}{5}{x^2}+\frac{24}{5}$x-4的对称轴为直线x=$-\frac{\frac{24}{5}}{2×（-\frac{4}{5}）}=3$，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（5，0），
∴AM=3-1=2，
∴MN=3，
∴点N的坐标是（3，2），
设过点C（0，-4），点N（3，2）的直线的解析式为：y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{3k+b=2}\end{array}\right.$
解得，k=2，b=4，
即直线PC的解析式y=2x-4，
由$\left\{\begin{array}{l}y=2x-4\\ y=-\frac{4}{5}{x^2}+\frac{24}{5}x-4\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=-4\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{2}\\ y=3\end{array}\right.$
∵点P位于第一象限，
∴点P的坐标为$（{\frac{7}{2}，3}）$；
（3）Q₁（2，3），Q₂$（{\frac{22}{5}，\frac{9}{5}}）$，Q₃（$\frac{11}{10}，\frac{6}{5}$）；
如下图所示，直线PC交x轴于点F，分三种情况，

当FQ₁∥CO时，由已知可得，△OCF与△PFQ相似，且相似比为4：3，直线PC的解析式y=2x-4与x轴交与点F的坐标为（2，0），
∴$\frac{F{Q}_{1}}{OC}=\frac{3}{4}$，解得，FQ₁=3，
∴Q₁的坐标是（2，3），
当∠PDQ₂=∠FCO或∠DPQ₃=∠DCO时，
设点Q的坐标为（x，y），
则$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{（x-2）^{2}+（y-0）^{2}}：2=3：4}\\{\sqrt{（x-\frac{7}{2}）^{2}+（y-3）^{3}}：4=3：4}\end{array}\right.$
解得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{22}{5}}\\{{y}_{2}=\frac{9}{5}}\end{array}\right.，\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}=\frac{11}{10}}\\{{y}_{3}=\frac{6}{5}}\end{array}\right.$
∴Q₂的坐标是（$\frac{22}{5}，\frac{9}{5}$），Q₃的坐标是（$\frac{11}{10}，\frac{6}{5}$），
由上可得，点Q的坐标是）Q₁（2，3），Q₂$（{\frac{22}{5}，\frac{9}{5}}）$，Q₃（$\frac{11}{10}，\frac{6}{5}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、等腰直角三角形的性质、三角形的相似，解题的关键是明确题意，知道抛物线与x轴、y轴相交的特点，与x轴相交时纵坐标等于0，与y轴相交时横坐标0，运用数形结合和分类讨论的数学思想解答问题．