Question

11．如图，已知抛物线与x交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式； 
（2）设抛物线顶点为D，求四边形ABDC的面积；
（3）△AOC与△DCB是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将C（0，3）代入可求得：a=-1，将a=-1代入可求得抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；
（2）如图1所示：连接BC、CD、BD．由抛物线的对称轴方程可求得x=1，将x=1代入抛物线得：y=4，从而得到点D的坐标为（1，4），依据两点间的距离公式可知：BC=3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{2}$，DB=2$\sqrt{5}$，然后根据勾股定理的逆定理可证明△CBD为直角三角形，最后根据S_ABDC=S_△ABC+S_△CDB求解即可；
（3）先证明$\frac{AO}{CD}=\frac{OC}{BC}=\frac{1}{3}$，由（2）可知∠DCB=∠AOC，最后依据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似证明即可．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将点C的坐标代入得：（0+1）×（0-3）a=3．
解得：a=-1．
∵a=-1，
∴y=-（x+1）（x-3）．
∴y=-x²+2x+3．
（2）如图1所示：连接BC、CD、BD．

∵x=-$\frac{b}{2a}$，
∴点D的横坐标=-$\frac{2}{-1×2}$=1．
将x=1代入抛物线的解析式得：y=4．
∴点D的坐标为（1，4）．
∵由两点间的距离公式可知：BC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{B}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{（1-0）^{2}+（4-3）^{2}}$=$\sqrt{2}$，DB=$\sqrt{（3-1）^{2}+（4-0）^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∴BC²=18，CD²=2，BD²=20．
∴BC²+CD²=BD²．
∴△CBD为直角三角形．
∴四边形ABDC的面积=S_△ABC+S_△CDB=$\frac{1}{2}×4×3$+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×3$\sqrt{2}$=9．
（3）∵AO=1，OC=3，DC=$\sqrt{2}$，BC=3$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AO}{CD}=\frac{OC}{BC}=\frac{1}{3}$．
又∵∠DCB=∠AOC，
∴△AOC∽△DCB．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、抛物线的对称轴公式、两点间的距离公式、勾股定理的逆定理以及相似三角形的判定定理的应用，证得△CDB是直角三角形是解题的关键．