Question

8．如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x-2）²+k经过点A、B．求：
（1）点A、B的坐标；
（2）抛物线的函数表达式；
（3）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+BM的最小值及点M的坐标；
（4）在抛物线对称轴上是否存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将x=0代入直线的解析式可求得点B的坐标，将y=0代入直线的解析式可求得点A的坐标；
（2）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式得到关于a、k的方程组，求得a、k的值，从而可求得抛物线的解析式；
（3）先求得抛物线的对称轴方程，从而可求得点C的坐标，由轴对称图形的性质可知AM+BM=BM+MC，当点B、M、C在一条直线上时，AM+BM有最小值，在Rt△BOC中，由勾股定理可求得BC的长，从而得到AM+BM的最小值，然后由△CDM∽△COB，可求得DM=1，从而得到点M的坐标；
（4）设点P的坐标为（2，m），然后分为AP=PB，AP=AB，BA=BP三种情况列方程求解即可．

解答 解：（1）∵将x=0代入直线的解析式得：y=3，
∴点B的坐标为（0，3）．
∵将y=0代入直线的解析式得：-3x+3=0，解得：x=1．
∴点A的坐标为（1，0）．
（2）将A（1，0）、B（0，3）代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{a+k=1}\\{4a+k=3}\end{array}\right.$，
解得：a=1，k=-1．
抛物线的解析式为y=x²-4x+3．
（3）如图所示：连接BC交抛物线的对称轴于点M，连接AM．

∵由题意可知抛物线的对称轴为x=2，
∴点C的坐标为（3，0）．
∵点A与点M关于x=2对称，
∴AN=MC．
∴AM+BM=BM+MC．
∵当点B、M、C在一条直线上时，AM+BM有最小值，AM+BM的最小值为BC的长．
∴AM+BM的最小值=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
∵MD∥OB，
∴△CDM∽△COB．
∴$\frac{DC}{OC}=\frac{MD}{OB}$，即$\frac{1}{3}=\frac{MD}{3}$．
解得：MD=1．
∴M（2，1）．
（4）设点P的坐标为（2，m）．
①当PA=PB时，由两点间的距离公式可知：（2-1）²+（m-0）²=（2-0）²+（m-3）²．
整理得：6m=12．
解得：m=2．
点P的坐标为（2，2）．
②当AP=AB时，由两点间的距离公式可知：（2-1）²+（m-0）²=（1-0）²+（0-3）²．
整理得：m²=9．
解得：m=3或m=-3（舍去）．
点P的坐标为（2，3）．
③当BA=BP时，由两点间的距离公式可知：（1-0）²+（0-3）²=（2-0）²+（m-3）²．
整理得：（m-3）²=6．
解得：m=3+$\sqrt{6}$或m=3-$\sqrt{6}$．
点P的坐标为（2，3+$\sqrt{6}$）或（2，3-$\sqrt{6}$）．
综上所述，点P的坐标为（2，2）或（2，3）或（2，3+$\sqrt{6}$）或（2，3-$\sqrt{6}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题需要熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定、两点间的距离公式、轴对称图形的性质，分为AP=PB，AP=AB，BA=BP三种情况列出关于m的方程是解题的关键．