Question

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在x轴上，顶点B（4，2）在抛物线y=ax²+bx上，且抛物线交x轴于另一点D（6，0）．
（1）则a=-$\frac{1}{4}$，b=$\frac{3}{2}$；
（2）已知E为BC边上一个动点（不与B、C重合），连结AE交OB于点P，过点E作y轴的平行线分别交抛物线、直线OB于F、G．
①求线段FG的最大值，此时△PFG的面积为$\frac{1}{3}$；
②若以点O为圆心，OP为半径作⊙O，试判断直线AE与⊙O的能否相切？若能请求出E点坐标，若不能请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把B与D坐标代入抛物线解析式求出a与b的值即可；
（2）①设出E坐标为（e，2），根据EG与y轴平行，表示出F与G坐标，进而表示出FG，利用二次函数性质求出FG最大值，以及此时e的值，确定出E坐标，利用待定系数法求出直线AE解析式，与直线OB联立求出交点P坐标，进而确定出此时三角形PFG面积即可；
②当AE⊥OB，垂足为P时，以点O为圆心，OP为半径作⊙O，直线AE与⊙O相切，如图所示，根据直线OB解析式确定出直线AE解析式，进而求出垂足P坐标即可．

解答 解：（1）把B（4，2）与D（6，0）分别代入抛物线y=ax²+bx得：$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=2}\\{36a+6b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
故答案为：-$\frac{1}{4}$；$\frac{3}{2}$；
（2）①由（1）得到抛物线解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x，
设直线OB解析式为y=kx，
把B（4，2）代入得：k=$\frac{1}{2}$，即直线BC解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
设E（e，2），则有F（e，-$\frac{1}{4}$e²+$\frac{3}{2}$e），G（e，$\frac{1}{2}$e），
∴FG=-$\frac{1}{4}$e²+$\frac{3}{2}$e-$\frac{1}{2}$e=-$\frac{1}{4}$e²+e=-$\frac{1}{4}$（e-2）²+1，
当e-2=0，即e=2时，FG取得最大值，最大值为1；
此时E（2，2），
设直线AE解析式为y=mx+n，
把A（4，0），E（2，2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4m+n=0}\\{2m+n=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=4}\end{array}\right.$，即直线AE解析式为y=-x+4，
与y=$\frac{1}{2}$x联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{3}}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，即P（$\frac{8}{3}$，$\frac{4}{3}$），
则S_△PFG=$\frac{1}{2}$×1×（$\frac{8}{3}$-2）=$\frac{1}{3}$；
故答案为：$\frac{1}{3}$；
②当AE⊥OB，垂足为P时，以点O为圆心，OP为半径作⊙O，直线AE与⊙O相切，如图所示，

∵直线OB解析式为y=$\frac{1}{2}$x，AE⊥OB，且A（4，0），
∴直线AE解析式为y=-2（x-4）=-2x+8，
与y=$\frac{1}{2}$x联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+8}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{16}{5}}\\{y=\frac{8}{5}}\end{array}\right.$，
则此时P坐标为（$\frac{16}{5}$，$\frac{8}{5}$）．

点评 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，二次函数的图象与性质，两直线的交点坐标，以及矩形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．