Question

7．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别在BC、AC上，且∠ADE=45°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若AB=2，BD=1，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）要证△ABD∽△DCE，根据已知，可知∠B=∠C，只需要再证∠DEC=∠ADB，利用三角形的外角等于不相邻的两内角之和，可证．那么△ABD∽△DCE；
（2）由AB=2，可得到BC=2$\sqrt{2}$，由（1）知△ABD∽△DCE，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
又因为∠DEC=∠ADE+∠CAD=45°+∠CAD（三角形的外角等于不相邻的两个内角之和），
同理∠ADB=∠C+∠CAD=45°+∠CAD，
∴∠DEC=∠ADB，
又∠ABD=∠DCE=45°，
∴△ABD∽△DCE；

（2）∵AB=2，
∴BC=2$\sqrt{2}$，
∵△ABD∽△DCE，
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{CD}{AE}$，
∴$\frac{2}{1}=\frac{2\sqrt{2}-1}{AE}$，
∴AE=$\frac{2\sqrt{2}-1}{2}$．

点评 本题利用了三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．