Question

15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．动点P从点A开始沿折线AC-CB-BA运动，点P在AC，CB，BA边上运动的速度分别为每秒3，4，5 个单位．直线l从与AC重合的位置开始，以每秒$\frac{4}{3}$个单位的速度沿CB方向平行移动，即移动过程中保持l∥AC，且分别与CB，AB边交于E，F两点，点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动
（1）①当t=3秒时，点P走过的路径长为10；②当t=3秒时，点P与点E重合；③当t=$\frac{3}{2}$秒时，PE∥AB；
（2）当点P在AC边上运动时，将△PEF绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点M落在EF上，点F的对应点记为点N，当EN⊥AB时，求t的值；
（3）当点P在折线AC-CB-BA上运动时，作点P关于直线EF的对称点，记为点Q．在点P与直线l运动的过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，请直接写出t的值．

Answer 1

分析 （1）①由条件可以求出AB=10，根据P点在各边的速度可以求出在各边所用的时间，从而可以求出P在3秒内走的路程；
②根据CE等于点P走的路程与AC的差建立方程就可以求出t的值；
③若PE∥AB，则△CPE∽△CAB，根据相似三角形的性质建立方程，就可求出t的值．
（2）由题意可得∠CPE=∠PEF=∠MEN，又由EN⊥AB，∠FEB=∠C=90°可得∠B=∠MEN，则有∠CPE=∠B，从而得到△CPE∽△CBA，根据相似三角形的性质建立方程，就可求出t的值．
（3）由于点P在三条线段上运动，因此需分点P在AC、BC及AB上三种情况进行讨论，然后根据菱形的性质和相似三角形的性质建立关于t的方程就可求出t的值．

解答 解：（1）①在Rt△ABC中，由∠C=90°，AC=6，BC=8得AB=10．
∵点P在AC，CB，BA边上运动的速度分别为每秒3，4，5个单位，
∴点P在AC边上运动的时间为：6÷3=2秒，
点P在BC边上运动的时间为：8÷4=2秒，
点P在AB边上运动的时间为：10÷5=2秒．
∴当t=3秒时，点P走过的路径长为6+4×（3-2）=10．
②由题意可知：当（t-2）×4=$\frac{4}{3}$t时，点P与点E重合．
解得：t=3．
∴t=3秒时，点P与点E重合．
③若PE∥AB，如图1，
则有△CPE∽△CAB．
∴$\frac{CP}{CA}$=$\frac{CE}{CB}$．
∴CP•CB=CE•CA．
∵CP=6-3t，CB=8，CE=$\frac{4}{3}$t，CA=6，
∴8（6-3t）=$\frac{4}{3}$t×6．
解得：t=1.5．
∴当t=1.5秒时，PE∥AB．
故答案分别为：10、3、1.5．

（2）如图2，
由旋转可得：∠PEF=∠MEN，
∵P在AC上，
∴AP=3t （0＜t≤2）．
∴CP=6-3t．
∵EF∥AC，∠C=90°，
∴∠CPE=∠PEF，∠BEF=∠C=90°．
∵EN⊥AB，
∴∠B=90°-∠NEB=∠MEN．
∴∠CPE=∠B．
∵∠C=∠C，∠CPE=∠B，
∴△CPE∽△CBA．
∴$\frac{CP}{CB}$=$\frac{CE}{CA}$．
∴CP•CA=CE•CB．
∴（6-3t）×6=$\frac{4t}{3}$×8．
解得：t=$\frac{54}{43}$．
∴当EN⊥AB时，t的值为$\frac{54}{43}$（秒）．

（3）①当P点在AC上时，（0＜t≤2），如图3，
∵EF∥AC，
∴△FEB∽△ACB，
∴$\frac{EF}{AC}$=$\frac{BF}{BA}$=$\frac{BE}{BC}$．
∵AC=6，BC=8，AB=10，BE=8-$\frac{4t}{3}$，
∴EF=6-t，BF=10-$\frac{5t}{3}$．
∵四边形PEQF是菱形，
∴∠POE=90°，EF=2OE．
∵∠C=∠POE=∠OEC=90°，
∴四边形PCEO是矩形．
∴OE=PC．
∴EF=2PC．
∴6-t=2（6-3t）．
∴t=$\frac{6}{5}$．
②当P点在BC上时，
此时点Q也在BC上，
所以以点P、E、Q、F为顶点不能构成菱形，故不存在．
③当P在AB上时，（4＜t＜6），如图4，
∵四边形PFQE是菱形，
∴OE=OF=$\frac{1}{2}$EF，EF⊥PQ．
∴∠FOP=90°=∠FEB．
∴OP∥BE．
∴△FOP∽△FEB．
∴$\frac{FP}{BF}$=$\frac{FO}{FE}$．
∴$\frac{FP}{BF}$=$\frac{1}{2}$．
∴BF=2PF．
∴BF=2BP．
∵BF=10-$\frac{5}{3}$t，BP=5（t-4），
∴10-$\frac{5t}{3}$=2[5（t-4）]．
解得：t=$\frac{30}{7}$．
综上所述：当四边形PEQF为菱形时，t的值为$\frac{6}{5}$或$\frac{30}{7}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定及性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的思想，利用相似三角形的性质和菱形的性质是解答本题的关键．