Question

18．有理数a、b、c不为0，且a+b+c=0，设x=|$\frac{|a|}{b+c}$+$\frac{|b|}{c+a}$+$\frac{|c|}{a+b}$|，求x¹⁹+2x+13的值．

Answer 1

分析 根据题意可得a，b，c中不能全同号，必有一正两负或两正一负与a=-（b+c），b=-（c+a），c=-（a+b），则可得|$\frac{|a|}{b+c}$，$\frac{|b|}{c+a}$，$\frac{|c|}{a+b}$|的值为两个+1，一个-1或两个-1，一个+1，即可求得x的值，代入即可求得答案．

解答 解：∵有理数a，b，c均不为0，且a+b+c=0，
∴a，b，c中不能全同号，必有一正两负或两正一负，
∴a=-（b+c），b=-（c+a），c=-（a+b），
即$\frac{a}{b+c}$=-1，$\frac{b}{c+a}$=-1，$\frac{c}{a+b}$=-1
∴|$\frac{|a|}{b+c}$，$\frac{|b|}{c+a}$，$\frac{|c|}{a+b}$|的值中必有两个同号，另一个符号与其相反，
∴|$\frac{|a|}{b+c}$，$\frac{|b|}{c+a}$，$\frac{|c|}{a+b}$|的值为两个+1，一个-1或两个-1，一个+1，
∴x=1，
∴原式=1+2+13=16．

点评 本题考查了分式的运算，注意分类讨论思想的应用，能得到|$\frac{|a|}{b+c}$，$\frac{|b|}{c+a}$，$\frac{|c|}{a+b}$|的值为两个+1，一个-1或两个-1，一个+1是解此题的关键．