Question

9．如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB=8，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（　　）

• A． 4$\sqrt{3}$
• B． 4
• C． 8$\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 首先证明△ABC是等边三角形．则△EDC是等边三角形，边长是2．而$\widehat{BE}$和弦BE围成的部分的面积=$\widehat{DE}$和弦DE围成的部分的面积，据此即可求解．

解答 解：连接AE，OD、OE．
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
又∵∠BED=120°，
∴∠AED=30°，
∴∠AOD=2∠AED=60°．
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠OAD=60°，
∵点E为BC的中点，∠AEB=90°，
∴AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，边长是8，△EDC是等边三角形，边长是4，
∴∠BOE=∠EOD=60°，
∴$\widehat{BE}$和弦BE围成的部分的面积=$\widehat{DE}$和弦DE围成的部分的面积，
∴阴影部分的面积=S_△EDC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4²=4$\sqrt{3}$．
故选A．

点评 本题考查了等边三角形的面积的计算，证明△EDC是等边三角形，边长是4．理解$\widehat{BE}$和弦BE围成的部分的面积=$\widehat{DE}$和弦DE围成的部分的面积是关键．