Question

7．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0）、点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列）连接AB
（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为45°或135°
（2）判断AB与⊙O的位置关系．并说明理由：
（3）连接BC、AD，当OC∥AD时，求证：直线BC为⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）根据点A和点B坐标易得△OAB为等腰直角三角形，则∠OBA=45°，由于OC∥AB，所以当C点在y轴左侧时，有∠BOC=∠OBA=45°；当C点在y轴右侧时，有∠BOC=180°-∠OBA=135°，从而得出答案；
（2）根据圆心O到AB的距离即可得到答案；
（3）由于OC=3，CF=$\frac{3}{2}$，得出∠COF=30°，则可得到BOC=60°，∠AOD=60°，然后根据“SAS”判断△BOC≌△AOD，从而得出∠BCO=∠ADO=90°，再根据切线的判定定理可确定直线BC为⊙O的切线．

解答 解：（1）∵点A（6，0），点B（0，6），
∴OA=OB=6，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OBA=45°，
∵OC∥AB，
∴当C点在y轴左侧时，∠BOC=∠OBA=45°；
当C点在y轴右侧时，∠BOC=90°+∠OBA=135°；
综上所述：当OC∥AB时，∠BOC的度数为45°或135°，
故答案为：45°或135°．

（2）AB与⊙O相离，理由：
∵由（1）证得△OAB为等腰直角三角形，
∴点O到AB的距离=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=3$\sqrt{2}$＞3，
∴AB与⊙O相离；

（3）直线BC为为⊙O的切线，理由如下：
如图：在Rt△OCF中，OC=3，CF=$\frac{3}{2}$，
∴sin∠COF=$\frac{CF}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠COF=30°，
∴∠OAD=30°，
∴∠BOC=60°，∠AOD=60°，
在△BOC和△AOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OD}\\{∠BOC=∠AOD}\\{BO=AO}\end{array}\right.$，
∴△BOC≌△AOD（SAS），
∴∠BCO=∠ADO=90°，
∴OC⊥BC，
∴直线BC是⊙O的切线；

点评 本题考查了圆的综合题，用到的知识点是切线的判定定理、平行线的性质和等腰直角三角形的判定与性质；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算是本题的关键．