Question

2．某县决定鼓励农民开荒种植花木并实行政府补贴，规定每新种植一亩花木一次性补贴农户若干元，经调查，种植亩数y（亩）与补贴金额x（元）之间成一次函数关系，且补贴与种植情况如下表：

补贴数额（元）	10	20	…
种植亩数（亩）	160	240	…

随着补贴数额x的不断增大，种植规模也不断增加，但每亩花木的收益z（元）会相应降低，且该县补贴政策实施前每亩花木收益为3000元，而每补贴10元（补贴数为10元的整数倍），每亩花木的收益会相应减少30元．
（1）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y（亩）．每亩花木的收益z（元）与政府补贴数额x（元）之间的函数关系式；
（2）要使全县新种植的花木总收益W（元）最大，又要从政府的角度出发，政府应将每亩补贴数额x定为多少元？并求出总收益W的最大值和此时种植亩数；（总收益=每亩收益×亩数）
（3）在（2）问中取得最大总收益的情况下，需占用其中不超过50亩的新种花木园，利用其树间空地种植新品种花木，已知引进该新品种平均每亩的费用为530元，此外还要购置其他设备，这一费用（元）等于种植面积（亩）的平方的25倍．这样混种了新品种花木的这部分土地比原来种植单一品种花木时每亩的平均收益增加了2000元，这部分混种土地在扣除所有费用后总收益为80000元，求混种花木的土地有多少亩？

Answer 1

分析 （1）首先根据已知条件和表格数据利用待定系数法可以求出y与x之间的函数关系式，又随着补贴数额x的不断增大，种植规模也不断增加，但每亩牡丹的收益z（元）会相应降低，且该县补贴政策实施前每亩牡丹的收益为3000元，而每补贴10元（补贴数为10元的整数倍），每亩牡丹的收益会相应减少30元，由此可以得到z=3000-$\frac{x}{10}$×30，化简即可得到函数关系式；
（2）根据题目条件知道W=y•z，然后分别把（1）中的函数关系式代入其中即可得到W关于x的二次函数，然后利用二次函数的性质即可解决问题；
（3）此时平均每亩收益$\frac{6120000}{4000}$（元），设混种牡丹的土地m亩，则根据题意可以列出方程（1530+2000）•m-530m-25m²=80000，解方程即可求出m，也就求出了混种牡丹的土地有多少亩．

解答 解：（1）y=kx+b过（10，160）（20，240）
∴$\left\{\begin{array}{l}{160=10k+b}\\{240=20k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=8}\\{b=80}\end{array}\right.$，
∴y=8x+80，
z=3000-$\frac{x}{10}$•30=-3x+3000；
（2）W=y•z=（8x+80）（-3x+3000）=-24x²+23760x+240000，
当x=495时，W最大，
∵x为10的整数倍，
∴当x=490或x=500时，W_最大=6120000，
∵从政府角度出发，
∴当x=490时，W_最大=6120000，
此时种植y=8×490+80=4000亩；
（3）此时平均每亩收益$\frac{6120000}{4000}$=1530（元），
设混种花木的土地m亩，则
（1530+2000）•m-530m-25m²=80000，
m²-120m+3200=0，
解得：m=60±20，
∴m₁=60+20=80＞50，
m₂=60-20=40，
∴混种花木的土地有40亩．

点评 本题分别考查了二次函数在实际生活中的应用、一元二次方程在实际中的应用、待定系数法确定一次函数的解析式等知识，综合性比较强，解题时首先要正确理解题意，准确把握题目中的数量关系，利用这些数量关系分别确定函数关系式和列出方程解决问题．