Question

16．如图，过△ABC的重心G引直线XY，使A与B，C在XY的异侧，从顶点A，B，C向这条直线作垂线，设垂足分别为如A′，B′，C′，求证：AA′=BB′+CC′．

Answer 1

分析 连接AG并延长交BC于D，过D作DE⊥XY于E，通过△AA′G∽△DEG，得到$\frac{AA′}{DE}=\frac{AG}{DG}$，由于点G是△ABC的重心，于是得到$\frac{AG}{DG}=2$，BD=CD，然后根据梯形的中位线定理得到结论．

解答 解：连接AG并延长交BC于D，过D作DE⊥XY于E，
∵AA′⊥XY，
∴∠AA′G=∠DEG=90°，∠AGA′=∠DGE，
∴△AA′G∽△DEG，
∴$\frac{AA′}{DE}=\frac{AG}{DG}$，
∵点G是△ABC的重心，
∴$\frac{AG}{DG}=2$，BD=CD，
∴AA′=2DE，
∵BB′⊥XY，CC′⊥XY，
∴BB′∥DE∥CC′，
∴BB′+CC′=2DE，
∴AA′=BB′+CC′．

点评 本题考查了梯形中位线定理，三角形的重心，作辅助线构成梯形中位线是解题的关键．