Question

8．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，且AE=AF，AG⊥BE于点G．求证：
（1）$\frac{AF}{AG}=\frac{BC}{BG}$；
（2）GF⊥GC．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得到AB=BC，∠DAB=∠ABC=90°，通过△ABE∽△AGB，得到$\frac{AE}{AG}=\frac{AB}{BG}$，由等量代换即可得到结论；
（2）由（1）证得∠AGB=∠ABC=90°通过△AGF∽△BCG，得到∠AGF=∠BGC，由于∠AGF+∠FGB=∠FGB+∠BGC=90°，于是得到∠FGC=90°，即可得到结论．

解答 解：（1）在正方形ABCD中，
∵AB=BC，∠DAB=∠ABC=90°，
∵AG⊥BE，
∴∠DAB=∠AGB=90°，
∵∠ABE=∠GBA，
∴△ABE∽△AGB，
∴$\frac{AE}{AG}=\frac{AB}{BG}$，
∵AE=AF，BC=AB，
∴$\frac{AF}{AG}=\frac{BC}{BG}$；

（2）由（1）证得∠AGB=∠ABC=90°∴∠GAB+∠ABG=∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠GAB=∠CBG，
∵$\frac{AF}{AG}=\frac{BC}{BG}$，
∴△AGF∽△BCG，
∴∠AGF=∠BGC，
∵∠AGF+∠FGB=∠FGB+∠BGC=90°，
∴∠FGC=90°，
∴GF⊥GC．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．