Question

【题目】如图所示，将沿直线BC方向平移的位置，G是DE上一点，连接AG，过点A、D作直线MN．

(1)求证：；

(2)若，，判断AG与DE的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】（1）利用平移的性质得到AB与DE平行且相等，得到四边形ABED为平行四边形，利用平行四边形的性质得到对角相等，利用外角性质即可得证；

（2）AG垂直与DE，理由为：由平移的性质得到∠EDF=∠BAC，根据∠EDF=∠DAG，等量代换得到∠BAC=∠DAG，由AB与DE平行，利用两直线平行同旁内角互补得到一对角互补，等量代换得到∠ABC=∠CAG，利用等式的性质及平行线的性质即可得证．

（1）由平移的性质得：△ABC≌△DEF，

∴AB=DE，AB∥DE，

∴四边形ABED为平行四边形，

∴AD∥BF，∠ADG=∠ABC，

∴∠ADG=∠DEF，

∴∠ABC=∠DEF=∠ADG，

∵∠AGE为△ADG的外角，

∴∠AGE=∠DAG+∠ADG=∠GAD+∠ABC；

（2）AG⊥DE，理由为：

由平移的性质得到∠EDF=∠BAC，

∵∠EDF=∠DAG，

∴∠BAC=∠DAG，

∵AB∥DE，

∴∠ABC+∠BEG=180°，

∵∠CAG+∠CEG=180°，

∴∠ABC=∠CAG，

∵MN∥BC，∴∠ABC=∠MAB，

∴∠MAB=∠CAG，

∵∠MAB+∠BAC+∠CAG+∠DAG=180°，

∴∠CAG+∠BAC=90°，即∠BAG=90°，

∵AB∥DE，

∴∠BAG+∠AGD=90°，

则AG⊥DE．