Question

7．已知：在△ABC中，AC=BC，点D在△ABC的外部，且∠ACB+∠ADB=180°，连接AB，CD．
（1）如图1，当∠ACB=90°时，则∠ADC=45°；
（2）如图2，当∠ACB=60°时，求证：DC平分∠ADB．

Answer 1

分析 （1）延长AD和CB，相交于点E，如图1，先判断△ABC为等腰直角三角形得到∠ABC=45°，再利用等角的余角可得∠BDE=∠ACB，则可判断△EBD∽△EAC，所以ED：EC=EB：EA，则ED：EB=EC：EA，加上∠DEC=∠BEA，则可判断△EDC∽△EBA，所以∠2=∠1，然后利用三角形内角和定理可得∠ADC=∠ABC=45°，（2）延长AD和CB，相交于点E，如图2，先判断△ABC为等边三角形得到∠ABC=60°，与（1）一样可证明∠2=∠1，则∠ADC=∠ABC=60°，再计算出∠BDC=60°，于是可判断DC平分∠ADB．

解答 解：（1）延长AD和CB，相交于点E，如图1，∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∵∠ACB+∠ADB=180°，
而∠BDE+∠ADB=180°，∴∠BDE=∠ACB，
而∠BED=∠AEC，∴△EBD∽△EAC，
∴ED：EC=EB：EA，
∴ED：EB=EC：EA，
而∠DEC=∠BEA，∴△EDC∽△EBA，
∴∠2=∠1，
∴∠ADC=∠ABC=45°，
故答案为45°；（2）证明：延长AD和CB，相交于点E，如图2，∵AC=BC，∠ACB=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，
与（1）一样可证明△EDC∽△EBA，∴∠2=∠1，
∴∠ADC=∠ABC=60°，
而∠ADB=180°-∠ACB=60°=120°，∴∠BDC=60°，
∴DC平分∠ADB．

点评 本题考查了三角形相似的判定与性质：寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；利用三角形相似的性质计算有关线段的长．也考查了等边三角形的性质．