Question

12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，∠BAC的平分线交BC于D，经过A、D的⊙O交AB于E，并且点O在AB上
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求CD的长及⊙O的半径长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；
（2））由勾股定理可求得AB的长，过C作CH⊥AB于H，从而可求得CH的值．再利用三角形的面积公式S_△ABC=S_△OBC+S_△OAC可求得半径的长，然后根据平行线分线段成比例定理求得BD，进而即可求得DC的长．

解答 （1）证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，
∴OD⊥BC，
∵OD为半径，
∴BC是⊙O切线；

（2）解：∵AC=12，BC=16，
∴AB=20；
过C作CH⊥AB于H，
则CH=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{54}{5}$，
连接OC，设⊙O的半径为r；
则S_△ABC=S_△OBC+S_△OAC=$\frac{1}{2}$BC•r+$\frac{1}{2}$r•CH，
∴$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$BC•r+$\frac{1}{2}$r•CH，
∴96=$\frac{1}{2}$r（16+$\frac{54}{5}$），
∴r=$\frac{15}{2}$．
∵OD∥AC，
∴$\frac{OD}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$，即$\frac{\frac{15}{2}}{12}$=$\frac{BD}{16}$，
∴BD=10，
∴CD=BC-BD=16-10=6．

点评 本题考查了切线的判定，勾股定理，三角形的面积以及平行线分线段成比例定理等知识点的应用，作出辅助线，证得OD⊥BC是解题的关键．