Question

4．等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，BC=12，点M为BC中点，含45°的直角三角板的锐角顶点与M重合，当三角板绕点M旋转时，三角板与两直角边交于点P、Q．P、Q分别在AB、AC边上，设BP=x，CQ=y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）证明△BPM∽△CMQ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解；
（2）首先求得AB的长度，则x的范围即可求得．

解答 解：（1）∵M为BC中点，
∴BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×12=6．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠PMQ=45°，
∵△BPM中，∠B+∠BPM+∠BMP=180°，则∠BPM+∠BMP=135°，
又∵∠BMP+∠PMQ+∠QMC=180°，则∠BMP+∠QMC=135°，
∴∠BPM=∠QMC，
又∵∠B=∠C，
∴△BPM∽△CMQ，
∴$\frac{BP}{CM}=\frac{BM}{CQ}$，即$\frac{x}{6}=\frac{6}{y}$，
∴y=$\frac{36}{x}$；
（2）直角△ABC中，AB=BC•sin45°=12×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=6$\sqrt{2}$，
则0＜x≤6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，证明∠BPM=∠QMC是解题的关键．