【题目】如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半,那么我们把这个三角形叫做“半高三角形”.
如图1,对于△ABC,BC边上的高AD等于BC的一半,△ABC就是半高三角形,此时,称△ABC是BC类半高三角形;如图2,对于△EFG,EF边上的高GH等于EF的一半,△EFG就是半高三角形,此时,称△EFG是EF类半高三角形.
(1)直接写出下列3个小题的答案.
①若一个三角形既是等腰三角形又是半高三角形,则其底角度数的所有可能值为 .
②若一个三角形既是直角三角形又是半高三角形,则其最小角的正切值为 .
③如图3,正方形网格中,L,M是已知的两个格点,若格点N使得△LMN为半高三角形,且△LMN为等腰三角形或直角三角形,则这样的格点N共有 个.
(2)如图,平面直角坐标系内,直线y=x+2与抛物线y=x2交于R,S两点,点T坐标为(0,5),点P是抛物线y=x2上的一个动点,点Q是坐标系内一点,且使得△RSQ为RS类半高三角形.
①当点P介于点R与点S之间(包括点R,S),且PQ取得最小值时,求点P的坐标.
②当点P介于点R与点O之间(包括点R,O)时,求PQ+QT的最小值.
【答案】(1)①45°、15°、75°;②1或;③7; (2)①点P′(,),此时,P(P′)Q取得最小值;②当点P与点R重合,且P、Q、H在一条直线且与直线HT垂直时,PQ+QT有最小值,最小值为4.
【解析】
(1)①②分底边上的高等于底边的一半、腰上的高等于腰长的一半两种情况分别求解即可;③如图3,这样的格点N共有7个;
(2)①如图4,当点P介于点R与点S之间时,与RS平行且与抛物线只有一个交点P′时,PQ取得最小值,即可求解;②当点P与点R重合,且P、Q、H在一条直线且与直线HT垂直时,PQ+QT有最小值,即可求解.
(1)①当底边上的高等于底边的一半时,
如下图△ABC为等腰三角形,AB=AC,AD=BC,
则AD=CD,则∠B=∠C=45°;
当腰上的高等于腰长的一半时,
同理底角为75°或15°,
故:答案为45°、15°、75°;
②当底边上的高等于底边的一半时,如上图,△ABC为等腰直角三角形,
故最小角为45°,最小角的正切值为1;
腰上的高等于腰长的一半时,同理可得:最小角的正切值为,
故答案为1或;
③如图3,这样的格点N共有7个,具体情况见下图,小黑点所示的位置,
(2)将抛物线与直线方程联立并解得:x=﹣1或2,
即:点R、S的坐标分别为(﹣1,1)、(2,4),则RS=,
则RS边上的高为,
则点Q在于RS平行的上下两条直线上,如下图,
过点Q作QH⊥NH交于点H,则HQ=,则QN==3,
点N(0,2),则点M(5,0),点M于点T重合,
则点Q的直线方程为:y=x+5,
当该直线在直线RS的下方时,y=x﹣1,
故点Q所在的直线方程为:y=x+5或y=x﹣1;
①如图4,当点P介于点R与点S之间时,
设与RS平行且与抛物线只有一个交点P′的直线方程为:y=x+d,
将该方程于抛物线方程联立并整理得:x2﹣x﹣d=0,
△=1+4d=0,解得:d=﹣,
此时,x2﹣x+=0,解得:x=,
点P′(,),此时,P(P′)Q取得最小值;
②当点P介于点R与点O之间(包括点R,O)时,
如图4,连接PQ,过点Q作QH垂直过点T于x轴平行的直线于点H,
则HQ=QT,
PQ+QT=PQ+QH,
当点P与点R重合,且P、Q、H在一条直线且与直线HT垂直时,PQ+QT有最小值,
则其最小值为yT﹣yR=5﹣1=4.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点E为AD的中点,点P为线段AB上一个动点,连接EP,将△APE沿EP折叠得到△EPF,连接CE,CF,当△ECF为直角三角形时,AP的长为______.
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【题目】如图,已知已知抛物线经过原点O和x轴上一点A(4,0),抛物线顶点为E,它的对称轴与x轴交于点D,直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B(﹣2,m)且与y轴交于点C,与抛物线的对称轴交于点F.
(1)求m的值及该抛物线的解析式
(2)P(x,y)是抛物线上的一点,若S△ADP=S△ADC,求出所有符合条件的点P的坐标.
(3)点Q是平面内任意一点,点M从点F出发,沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动,设点M的运动时间为t秒,是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形?若能,请直接写出点M的运动时间t的值;若不能,请说明理由.
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【题目】为了解我市九年级学生身体素质情况,从全市九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育考试科目测试(把测试结果分为四个等级:A级:优秀;B级:良好;C级:及格;D级:不及格),并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图.请根据统计图中的信息解答下列问题:
(1)本次抽样测试的学生人数是 ;
(2)图1中∠α的度数是 °,把图2条形统计图补充完整;
(3)全市九年级有学生6200名,如果全部参加这次体育科目测试,请估计不及格的人数为 .
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【题目】如图,菱形ABCD的边长为4,∠A=60°,E是边AD的中点,F是边BC上的一个动点,EG=EF,且∠GEF=60°,则GB+GC的最小值为__.
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【题目】将直角三角形纸板OAB按如图所示方式放置在平面直角坐标系中,OB在x轴上,OB=4,OA=2将三角形纸板绕原点O逆时针旋转,每秒旋转60°,则第2019秒时,点A的对应点A ′ 的坐标为( )
A. (-3,-)B. (3,-)C. (-3,)D. (0,2)
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【题目】母亲节前,某淘宝店从厂家购进某款网红礼盒,已知该款礼盒每个成本价为30元.经市场调查发现,该礼盒每天的销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系.当该款礼盒每个售价为40元时,每天可卖出300个;当该款礼盒每个售价为55元时,每天可卖出150个.
(1)求y与x之间的函数解析式(不要求写出x的取值范围);
(2)若该店老板想达到每天不低于240个的销售量,则该礼盒每个售价定为多少元时,每天的销售利润最大,最大利润是多少元?
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【题目】某校随机抽取部分学生,就“学习习惯”进行调查,将“对自己做错题进行整理、分析、改正”(选项为:很少、有时、常常、总是)的调查数据进行了整理,绘制成部分统计图如下:
请根据图中信息,解答下列问题:
(1)该调查的样本容量为________, =________%, =________%,“常常”对应扇形的圆心角的度数为__________;
(2)请你补全条形统计图;
(3)若该校有3200名学生,请你估计其中“总是”对错题进行整理、分析、改正的
学生有多少名?
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【题目】如图:在平行四边形ABCD的边AB,CD上截取AF,CE,使得AF=CE,连接EF,点M,N是线段EF上两点,且EM=FN,连接AN,CM.
(1)求证:△AFN≌△CEM;
(2)若∠CMF=107°,∠CEM=72°,求∠NAF的度数.
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