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【题目】如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半,那么我们把这个三角形叫做半高三角形

如图1,对于ABCBC边上的高AD等于BC的一半,ABC就是半高三角形,此时,称ABCBC类半高三角形;如图2,对于EFGEF边上的高GH等于EF的一半,EFG就是半高三角形,此时,称EFGEF类半高三角形.

1)直接写出下列3个小题的答案.

①若一个三角形既是等腰三角形又是半高三角形,则其底角度数的所有可能值为 

②若一个三角形既是直角三角形又是半高三角形,则其最小角的正切值为 

③如图3,正方形网格中,LM是已知的两个格点,若格点N使得LMN为半高三角形,且LMN为等腰三角形或直角三角形,则这样的格点N共有  个.

2)如图,平面直角坐标系内,直线yx+2与抛物线yx2交于RS两点,点T坐标为(05),点P是抛物线yx2上的一个动点,点Q是坐标系内一点,且使得RSQRS类半高三角形.

①当点P介于点R与点S之间(包括点RS),且PQ取得最小值时,求点P的坐标.

②当点P介于点R与点O之间(包括点RO)时,求PQ+QT的最小值.

【答案】1)①45°、15°、75°;②1;③7 2)①点P′(),此时,PP′)Q取得最小值;②当点P与点R重合,且PQH在一条直线且与直线HT垂直时,PQ+QT有最小值,最小值为4

【解析】

1)①②分底边上的高等于底边的一半、腰上的高等于腰长的一半两种情况分别求解即可;③如图3,这样的格点N共有7个;

2)①如图4,当点P介于点R与点S之间时,与RS平行且与抛物线只有一个交点P′时,PQ取得最小值,即可求解;②当点P与点R重合,且PQH在一条直线且与直线HT垂直时,PQ+QT有最小值,即可求解.

1)①当底边上的高等于底边的一半时,

如下图ABC为等腰三角形,ABACADBC

ADCD,则∠B=∠C45°

当腰上的高等于腰长的一半时,

同理底角为75°15°

故:答案为45°15°75°

②当底边上的高等于底边的一半时,如上图,ABC为等腰直角三角形,

故最小角为45°,最小角的正切值为1

腰上的高等于腰长的一半时,同理可得:最小角的正切值为

故答案为1

③如图3,这样的格点N共有7个,具体情况见下图,小黑点所示的位置,

2)将抛物线与直线方程联立并解得:x=﹣12

即:点RS的坐标分别为(﹣11)、(24),则RS

RS边上的高为

则点Q在于RS平行的上下两条直线上,如下图,

过点QQHNH交于点H,则HQ,则QN3

N02),则点M50),点M于点T重合,

则点Q的直线方程为:yx+5

当该直线在直线RS的下方时,yx1

故点Q所在的直线方程为:yx+5yx1

①如图4,当点P介于点R与点S之间时,

设与RS平行且与抛物线只有一个交点P′的直线方程为:yx+d

将该方程于抛物线方程联立并整理得:x2xd0

1+4d0,解得:d=﹣

此时,x2x+0,解得:x

P′),此时,PP′Q取得最小值;

②当点P介于点R与点O之间(包括点RO)时,

如图4,连接PQ,过点QQH垂直过点Tx轴平行的直线于点H

HQQT

PQ+QTPQ+QH

当点P与点R重合,且PQH在一条直线且与直线HT垂直时,PQ+QT有最小值,

则其最小值为yTyR514

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