Question

3．已知：如图，AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F

（1）如图1，已知∠A=30°，∠APC=80°，求∠C的度数；
（2）如图2，当动点P在线段EF上运动时（不包括E，F两点），∠A，∠APC与∠C之间有何数量关系？并证明你的结论；
（3）当动点P在直线EF（线段EF除外）上运动时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出∠A，∠APC与∠C之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）过P作PO∥AB，推出AB∥PO∥CD，根据平行线性质得出∠APO=∠A=30°，∠C=∠CPO，代入求出即可；
（2）过P作PO∥AB，推出AB∥PO∥CD，根据平行线性质得出∠APO=∠A，∠C=∠CPO，求出即可；
（3）过P作PO∥AB，推出AB∥PO∥CD，根据平行线性质得出∠APO=∠A，∠C=∠CPO，求出即可．

解答 解：（1）如图①，过P作PO∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PO∥CD，
∵∠A=30°，
∴∠APO=∠A=30°，∠C=∠CPO，
∵∠APC=80°
∴∠C=∠CPO=∠APC-∠APO=80°-30°=50°；

（2）∠A+∠C=∠APC，
证明：如图②，过P作PO∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PO∥CD，
∴∠APO=∠A，∠C=∠CPO，
∴∠APC=∠APO+∠CPO=∠A+∠C；

（3）不成立，关系式是：∠A-∠C=∠APC，
理由：如图③，过P作PO∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PO∥CD，
∴∠APO=∠A，∠C=∠CPO，
∴∠A-∠C=∠APO-∠CPO=∠APC，
即∠A-∠C=∠APC．

点评 本题考查了平行线性质的应用，在解答此题时要注意作出辅助线，构造出平行线求解．