Question

【题目】如图，在△ABC中，点O是AC边上(端点除外)的一个动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF．

(1)求证：OE=OF；

(2)那么当点O运动到AC的中点时，试判断四边形AECF的形状并说明理由；

(3)在(2)的前提下△ABC满足什么条件，四边形AECF是正方形？说明理由．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)四边形AECF是矩形；(3)四边形AECF是正方形.

【解析】

(1)由平行线的性质和角平分线的性质，推出∠ECB=∠CEO，∠GCF=∠CFO，∠ECB=∠ECO，∠GCF=∠OCF，通过等量代换即可推出∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠OCF，便可确定OC=OE，OC=OF，可得OE=OF；

(2)当O点运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形，根据矩形的判定定理(对角线相等且互相平分的四边形为矩形)，结合(1)所推出的结论，即可推出OA=OC=OE=OF，求出AC=EF后，即可确定四边形AECF为矩形；

(3)当△ABC是直角三角形时，四边形AECF是正方形，根据(2)所推出的结论，由AC⊥BC，MN∥BC，确定AC⊥EF，即可推出结论．

证明：(1)

如图：

∵MN∥BC，

∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，

∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，

∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，

∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，

∴EO=CO，FO=CO，

∴EO=FO．

(2)当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．

∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，

∵EO=FO，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵FO=CO，

∴AO=CO=EO=FO，

∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，

∴四边形AECF是矩形．

(3)当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．

∵由(2)知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，

∵MN∥BC，当∠ACB=90°，

∴∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，

∴AC⊥EF，

∴四边形AECF是正方形．