Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上的一点，且AD∥CO．
（1）求证：△ADB∽△OBC；
（2）连结CD，试说明CD是⊙O的切线；
（3）若AB=2， ，求AD的长．（结果保留根号）

Answer 1

【答案】
（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵BC是⊙O的切线，

∴∠OBC=90°，

∵AD∥CO，

∴∠A=∠BOC，

∴△ADB∽△OBC

（2）如图，连接OD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵AD∥CO，

∴∠DFO=90°，

∵∠ODB=∠OBD，

∴∠DOF=∠BOF，

∵OD=OB，OC=OC，

在△ODC和△OBC中，

∴△ODC≌△OBC（SAS），

∴∠CDO=∠CBO=90°，

∴CD是⊙O的切线

（3）∵AB=2，

∴OB=1，

∵ ，

∴OC= = ．

∵AD∥CO，

∴∠DAB=∠COB，

∵∠ADB=∠OBC=90°，

∴△ADB∽△OBC，

∴ = ，即 = ，

解得AD=

【解析】（1）运用∠A=∠BOC，∠ADB=∠OBC证明即可．（2）连接OD，SAS证明△ODC≌△OBC，得出∠CDO=∠CBO=90°，即可得出CD是⊙O的切线；（3）先求出OB，OC的长，再运用△ADB∽△OBC，求出AD的长．
【考点精析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．