Question

【题目】如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x．

（1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；

（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；

（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当BQ=MN时，四边形BMNQ为平行四边形，证明见解析；（3）当x=时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为．

【解析】

（1）根据题意得到∠MQB=∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明；

（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；

（3）根据勾股定理求出BC，根据相似三角形的性质用x表示出QM、BM，根据梯形面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数性质计算即可．

（1）∵MQ⊥BC，

∴∠MQB=90°，

∴∠MQB=∠CAB，又∠QBM=∠ABC，

∴△QBM∽△ABC；

（2）当BQ=MN时，四边形BMNQ为平行四边形，

设AM=3a，则MN=5a，

∴BQ=MN=5a，

∵MN∥BQ，

∴∠NMQ=∠MQB=90°，

∴∠AMN+∠BMQ=90°，又∠B+∠BMQ=90°，

∴∠B=∠AMN，又∠MQB=∠A=90°，

∴△MBQ∽△NMA，

∴，即，

解得，a=，

∴BQ=，

∵MN∥BQ，BQ=MN=，

∴四边形BMNQ为平行四边形；

（3）∵∠A=90°，AB=3，AC=4，

∴BC==5，

∵△QBM∽△ABC，

∴，即，

解得，QM=x，BM=x，

∵MN∥BC，

∴，即，

解得，MN=5-x，

则四边形BMNQ的面积=

=，

∴当x=时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为．