Question

【题目】如图，以⊙O的弦AB为斜边作Rt△ABC，C点在圆内，边BC经过圆心O，过A点作⊙O的切线AD．

（1）求证：∠DAC＝2∠B；

（2）若sinB＝，AC＝6，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）连接AO，由AD为切线，根据切线的性质得∠OAD＝90°，从而由同角的余角相等得结论；

（2）设⊙O的半径OA＝r，求出BC＝8，然后在Rt△ACO中根据勾股定理列方程可得结论．

（1）证明：连接OA，

∵AD是⊙O的切线，

∴OA⊥AD，

∴∠OAD＝∠CAD+∠OAC＝90°，

∵∠C＝90°，

∴∠OAC+∠AOC＝90°，

∴∠CAD＝∠AOC，

∵OA＝OB，

∴∠B＝∠OAB，

∴∠CAD＝∠AOC＝∠B+∠OAB＝2∠B；

（2）解：设OA＝r，则OB＝r，

在Rt△CAB中，sinB＝，

∵AC＝6，

∴AB＝10，

∴BC＝8，

在Rt△ACO中，由勾股定理得：AC2+CO2＝AO2，

∴62+（8﹣r）2＝r2，

解得：r＝，

答：⊙O的半径是．