Question

【题目】如图，抛物线 与 轴交 、 两点，直线 与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．

（1）求抛物线及直线AC的函数表达式；
（2）若P点是线段AC上的一个动点，过P点作 轴的平行线交抛物线于F点，求线段PF长度的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：将A（﹣1，0），B（3，0）代入 ，
得b=﹣2，c=3；
∴ ．
将C点的横坐标x=2代入 ，
得y=-3，
∴C（2，-3）；
∴直线AC的函数解析式是y=﹣x﹣1
（2）解：设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），
则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x， ）；
∵P点在E点的上方，PE=（﹣x﹣1）﹣（ ）= ，
∴当x= 时，PE的最大值为
【解析】（1）利用待定系数法，把A、B坐标代入解析式即可；（2）解决最值问题的基本策略是函数思想，构建以P点的横坐标x为自变量，PF长为因变量的函数，再利用配方法求出最值.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的最值的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a．