Question

【题目】如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE且AF=AE．

（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：EC+CD=DF；

（2）如图2，连接BF交AC于G点，若 =3，求证：E点为BC中点；

（3）当E点在射线CB上，连接BF与直线AC交于G点，若，求：（直接写出结果）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．

【解析】

(1)通过全等三角形△ADF≌△EDA的对应边相等得到:AD=CD,FD=AC,则利用等量代换和图形中相关线段间的和差关系证得结论;
(2)过F点作FD⊥AC交AC于D点,根据(1)中结论可得FD=AC=BC,即可证明△FGD≌△BCD,可得DG=CG,根据=3可证=,根据AD=CE,AC=BC ,即可解题;
(3)过F作FD⊥AG的延长线交于点D,易证=,由(1)(2)可以知道△ADF≌△ECA,△GDF≌△GCB,可得CG=GD,AD=CE ,即可求得的值,即可解题.

（1）∵∠FAD+∠CAE=90°，∠FAD+∠AFD=90°，

∴∠CAE=∠AFD，

在△AGD和△ECA中，

∵∠ADF=∠ECA，∠AFD=∠CAE，AF=AE，

∴△ADF≌△ECA（AAS）；

∴AD=EC，DF=AC.

∴DF=AC=AD+CD=EC+CD.

即EC+CD=DF.

（2）过F点作FD⊥AC交AC于D点，

∵△ADF≌△ECA，

∴FD=AC=BC，

在△FGD和△BCD中，

∵∠FGD=∠CGB，∠FDG=∠C=90°，FD=BC，

∴△FGD≌△BGC（AAS），

∴DG=CG，

∵ =3，∴AG=3CG=AD+DG，∴AD=2CG=CD=AC，

∵AD=CE，AC=BC,∴CE=BC,

∴E点为BC中点；

（3）类比（2）问中的解法，过F作FD⊥AC,可求得．