Question

【题目】如图，点O是等腰△ABC的外心，AD是圆O的切线，切点为A，过点C作CD≡∥AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，连接AD，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．

（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AB=12，BC=8．求PC的长．

Answer 1

【答案】（1）直线PC与圆O相切（2）PC=

【解析】

（1）过C点作直径CE，连接EB，由CE为直径得∠E＋∠BCE＝90°，由AB∥DC得∠ACD＝∠BAC，而∠BAC＝∠E，∠BCP＝∠ACD，所以∠E＝∠BCP，于是∠BCP＋∠BCE＝90°，然后根据切线的判断得到结论；

（2）根据切线的性质得到OA⊥AD，而BC∥AD，则AM⊥BC，根据垂径定理有BM＝CM＝BC＝4，根据等腰三角形性质有AC＝AB＝12，在Rt△AMC中根据勾股定理计算出AM；

设⊙O的半径为r，则OC＝r，OM＝AMr在Rt△OCM中，根据勾股定理计算出r，求出CE＝2r，OM，利用中位线性质得BE＝2OM，然后判断Rt△PCM∽Rt△CEB，根据相似比可计算出PC．

（1）直线PC与圆O相切，理由为：

过C点作直径CE，连接EB，如图，

∵CE为直径，

∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°，

∵AB∥DC，

∴∠ACD=∠BAC，

∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD．

∴∠E=∠BCP，

∴∠BCP+∠BCE=90°，即∠PCE=90°，

∴CE⊥PC，

∴PC与圆O相切；

（2）∵AD是⊙O的切线，切点为A，

∴OA⊥AD，

∵BC∥AD，

∴AM⊥BC，

∴BM=CM=BC=4，

∴AC=AB=12，

在Rt△AMC中，AM==8，

设圆O的半径为r，则OC=r，OM=AM﹣r=8﹣r，

在Rt△OCM中，OM2+CM2=OC2，即42+（8﹣r）2=r2，

解得：r=，

∴CE=2r==9，OM=8﹣=，

∴BE=2OM=7，

∵∠E=∠MCP，

∴Rt△PCM∽Rt△CEB，

∴=，

即=

∴PC=．