Question

如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x-6与x轴交于点A，与y轴交于点B，以（6，-6）为圆心，3

2

为半径作⊙C．
（1）求证：直线AB与⊙C相切；
（2）过原点O引射线OP、OQ与⊙C相切，切点为E、F，与直线AB分别交于点M、N（点M在点N的上方）．
①求∠POQ的度数；
②△OMN的周长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：探究型

分析：（1）连接CA，CB，过点C作CD⊥AB于点D，先根据A、B是直线y=x-6与x、y轴的交点，求出A、B的坐标，判断出四边形OBCA的形状，再根据三角形的面积公式求出CD的长，再与⊙C的半径相比较即可；
（2）①连接CE，CF，OC，则CE⊥OP，CF⊥OQ，再根据两点间的距离公式求出OC的长，由锐角三角函数的定义可求出∠EOC的度数，进而可得出∠EOF的度数；
②根据锐角三角函数的定义可求出OE的长，再根据切线的性质可得出MD=ME，ND=NF，OE=OF，故可得出△OMN的周长=OE+OF=2OE，故可得出结论．

解答：解：（1）如图1，连接CA，CB，过点C作CD⊥AB于点D，
∵A、B是直线y=x-6与x、y轴的交点，
∴A（6，0），B（0，-6），
∴OA=OB=6，AB=6

2

，
∵C（6，-6），
∴OA=OB=BC=AC=6，
∵∠AOB=90°，
∴四边形OBCA是正方形，
∴S_△ACB=

1

2

AC•BC=

1

2

AB•CD，即6×6=6

2

CD，
解得CD=3

2

，
∴⊙C与直线AB相切；

（2）①如图2，连接CE，CF，OC，
∵OP，OQ均是⊙C的切线，
∴CE⊥OP，CF⊥OQ，
∵C（6，-6），
∴OC=

(0-6)2+(0+6)2

=6

2

，
∵CE=3

2

，
∴∠EOC=30°，
同理可得∠FOC=30°，
∴∠POQ=∠FOC+∠EOC=60°；

②∵由①知，Rt△OEC中，OC=6

2

，CE=3

2

，∠EOC=30°，
∴OE=OF=OC•cos30°=6

2

×

3

2

=3

6

，
∵AB，OP，OQ均是⊙C的切线，
∴MD=ME，ND=NF，OE=OF，
∴△OMN的周长=OE+OF=3

6

+3

6

=6

6

．

点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到切线的性质、直角三角形的性质等相关知识，难度适中．