Question

已知：抛物线y=ax²+（a-2）x-2过点A（3，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线y=ax²+（a-2）x-2在直线y=-1下方的部分沿直线y=-1翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G．点M（m，y₁）在图象G上，且y₁≤0．
①求m的取值范围；
②若点N（m+k，y₂）也在图象G上，且满足y₂≥4恒成立，则k的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将A（3，4）代入y=ax²+（a-2）x-2，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式为y=x²-x-2；
（2）①图象G的解析式分为两部分，当x≤

-1- 5

2

或x≥

1+ 5

2

时，y=x²-x-2，此时与x轴的两个交点为（-1，0），（2，0）；当

-1- 5

2

＜x＜

1+ 5

2

时，根据对称性求出解析式为y=-（x-

1

2

）²+

1

4

，即y=-x²+x，此时与x轴的两个交点为（0，0），（1，0）．所以当点M（m，y₁）在图象G上，且y₁≤0时，可得m的取值范围是-1≤m≤0或1≤m≤2；
②先根据y₂≥4求出自变量的取值范围是m+k≤-2或m+k≥3，又由①知-1≤m≤0或1≤m≤2，根据不等式的性质即可得出k≤-4或k≥4．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+（a-2）x-2过点A（3，4），
∴4=9a+3（a-2）-2，解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x²-x-2；

（2）①∵y=x²-x-2，
∴当y=0时，x²-x-2=0，解得x=-1或2，
∴y=x²-x-2与x轴交于点（-1，0），（2，0）．
当y=-1时，x²-x-2=-1，解得x=

1± 5

2

，
∵y=x²-x-2=（x-

1

2

）²-

9

4

，
∴顶点为（

1

2

，-

9

4

），它关于直线y=-1对称点的坐标为（

1

2

，

1

4

），
∴当x≤

-1- 5

2

或x≥

1+ 5

2

时，图象G的解析式不变，仍然为y=x²-x-2；
当

-1- 5

2

＜x＜

1+ 5

2

时，图象G的解析式为y=-（x-

1

2

）²+

1

4

，即y=-x²+x，
当y=0时，-x²+x=0，解得x=0或1，
∴如果点M（m，y₁）在图象G上，且y₁≤0时，-1≤m≤0或1≤m≤2；

②由图象可知，y≥4时，x²-x-2≥4，
解得x≤-2或x≥3．
∴m+k≤-2或m+k≥3，
又∵-1≤m≤0或1≤m≤2，
∴k≤-4或k≥4．
故答案为k≤-4或k≥4．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式的关系，对称轴与坐标轴平行时二次函数解析式的特点，不等式的性质，难度适中．运用数形结合是解题的关键．