Question

12．如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角形的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm，半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上，设运动时间为t（s），当t=0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC=8cm．
（1）半圆O在运动过程中，试判断点A与半圆O的位置关系；
（2）当t为何值时，直线AB与半圆O所在的圆相切；
（3）在（2）的条件下，如果半圆面积与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求半圆面与△ABC重叠部分的面积．

Answer 1

分析 （1）求得AC的长后与半圆的半径比较大小后即可确定点与圆的位置关系；
（2）过C点作CF⊥AB，交AB于F点，当半圆O与△ABC的边AB相切时，圆心O到AB的距离等于6cm，且圆心O又在直线BC上，即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切，此时点O运动了8cm，所求运动时间为t=4；当点O运动到B点的右侧，且OB=12cm时，过点O作OQ⊥直线AB，垂足为Q，利用直角三角形可求得点O运动了32cm，可求出时间t；
（3）在（2）的条件下，只有当t=4时符合条件，利用圆扇形的面积可求得面积．

解答 解：（1）∵DE=12cm，
∴R=6cm，
∵BC=12cm，∠ABC=30°，
∴AC=tan30°BC=4$\sqrt{3}$＞BC，
∴半圆O在运动过程中点A在半圆O外；

（2）①如图1，过C点作CF⊥AB，交AB于F点；

∵∠ABC=30°，BC=12cm，
∴FO=6cm；
当半圆O与△ABC的边AB相切时，
又∵圆心O到AB的距离等于6cm，
且圆心O又在直线BC上，
∴O与C重合，
即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切；
此时点O运动了8cm，所求运动时间为t=8÷2=4（s），
②当点O运动到B点的右侧，且OB=12cm时，如图2，过点O作OQ⊥直线AB，垂足为Q．

在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，则OQ=6cm，
即OQ与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了32cm．
所求运动时间为：t=32÷2=16s，
综上可知当t=4s或16s时，AB与半圆O所在的圆相切；
（3）当半圆O与AB边相切于M时，如图1，S=$\frac{1}{4}$π×6²=9π．

点评 此题主要考查了直线与圆的位置关系和点与圆的位置关系．利用时间t来表示线段之间的关系是动点问题中是常用的方法之一，要会灵活运用．并能根据圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．