Question

【题目】（问题背景）

（1）如图1，等腰中，，，则______；

（知识应用）

（2）如图2，和都是等腰三角形，，、、三点在同一条直线上，连接.

①求证：；

②请写出线段，，之间的等量关系式，并说明理由？

（3）如图3，和均为等边三角形，在内作射线，作点关于的对称点，连接并延长交于点，连接，.若，，求的长.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①见解析；②；理由见解析；（3）

【解析】

（1）由等腰三角形的性质和锐角三角函数即可得解；

（2）①根据等腰三角形的性质，找出AD=AE，∠DAB=∠EAC ，AB=AC，即可得证；②由全等三角形的性质得出BD=CE，再由（1）中的结论得出，即可得出等量关系；

（3）正确作辅助线，连接BE，作BG⊥AE，由对称性证得△EFC为等边三角形，然后构造直角三角形，求出∠GFB=30°，利用三角函数即可得解.

（1）作AD⊥BC，如图所示：

∵，，

∴∠ABC=∠ACB=30°，BD=CD=BC

∴在Rt△ABD中，

∴

∴

（2）①∵和都是等腰三角形，

∴AD=AE，AB=AC，

∵，

∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE

∴∠DAB=∠EAC

∴（SAS）

②

理由：由①中，得BD=CE

∵是等腰三角形，∠DAE=120°

∴由（1）中结论得知，

∵

∴

（3）连接BE，作BG⊥AE于点G，如图所示：

∵和均为等边三角形，

∴四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°

∵C、E关于BM对称

∴BE=BC，FE=FC，∠EBF=∠CBF，∠EFB=∠CFB

∴AB=BC=BE

∵BG⊥AE

∴AG=GE，∠ABG=∠GBE

∴∠GBF=∠GBE+∠EBF=∠ABC=60°

∴∠EFB=∠CFB=30°，即∠EFC=60°

∴△CEF为等边三角形

∴EF=CE=1

∵AE=4

∴GE=2

∴GF=GE+EF=2+1=3

∴在Rt△GBF中，∠GFB=30°，