【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2﹣x﹣3交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点C
(1)求直线AC的解析式;
(2)点P是直线AC上方抛物线上的一动点(不与点A,点C重合),过点P作PD⊥x轴交AC于点D,求PD的最大值;
(3)将△BOC沿直线BC平移,点B平移后的对应点为点B′,点O平移后的对应点为点O′,点C平移后的对应点为点C′,点S是坐标平面内一点,若以A,C,O′,S为顶点的四边形是菱形,求出所有符合条件的点S的坐标.
【答案】(1);(2);(3)(,)或(,)或()或()或()
【解析】
(1),令y=0,则x=-1或-6,故点A、B、C的坐标分别为:(-6,0)、(-1,0)、(0,-3),然后用待定系数法即可求解;(2)设点P(x,),则点D(x,),则PD=-()=,然后配方法分析其最值,即可求解;(3)分AC是菱形的边、AC是对角线两种情况,分别求解即可.
解:(1)当y=0时,
解得:x=-1或-6,
当x=0时,y=-3
∴点A、B、C的坐标分别为:(-6,0)、(-1,0)、(0,-3),
设直线AC的表达式为:
将点A、C的坐标代入得:
解得:
∴直线AC的解析式为:
(2)设点P(x,),则点D(x,)
则PD=-()=
∵<0,故PD有最大值为
(3)设直线BC的表达式为:
将点B、C的坐标代入得:
解得:
∴直线BC的解析式为:
①如图3或4中,当四边形ACSO'是菱形时,设AS交CO′于K,AC=AO′=3,
点O平移后的对应点为点O′,平移直线的k为,
则设点O向左平移m个单位,则向上平移3m个单位,则点O′(-m,3m),设点S(a,b),
∴(m+6)2+(-3m)2=(3)2,
解得m=,
∴O′(,)或(,)
由中点公式可得:K(,)或(,),
∵AK=KS,
∴S(,)或(,)
②如图5或6中,当四边形ACO'S是菱形时,设CS交AO′于K,AC=CO′=3,
∵点O平移后的对应点为点O′,平移直线的k为,C(0,-3),设O′(m,-3m),
∴m2+(-3m+3)2=(3)2,
解得m=,
∴O′()或(),
由中点公式可得:K()或(),
∵CK=KS,
∴S()或()
③如图7中,当四边形ASCO′是菱形时,SO垂直平分线段AC,
直线SO′的解析式为
由 ,
解得 ,
∴O′()
∵KS=KO′,
∴S()
综上所述,满足条件的点S坐标为(,)或(,)或()或()或()
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【题目】对于平面直角坐标系中的点,将它的纵坐标与横坐标的比称为点的“理想值”,记作.如的“理想值”.
(1)①若点在直线上,则点的“理想值”等于_______;
②如图,,的半径为1.若点在上,则点的“理想值”的取值范围是_______.
(2)点在直线上,的半径为1,点在上运动时都有,求点的横坐标的取值范围;
(3),是以为半径的上任意一点,当时,画出满足条件的最大圆,并直接写出相应的半径的值.(要求画图位置准确,但不必尺规作图)
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=,经过点A(1,3)、B(0,1),过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点C.
(1)求抛物线的表达式及其顶点坐标;
(2)如图,点G是BC上方抛物线上的一个动点,分别过点G作GH⊥BC于点H、作GE⊥x轴于点E,交BC于点F,在点G运动的过程中,△GFH的周长是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,平面直角坐标系中,矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上,OA=cm,OC=8cm,现有两动点P、Q分别从O、C同时出发,P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动,Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动.设运动时间为t秒.
(1)用t的式子表示△OPQ的面积S;
(2)求证:四边形OPBQ的面积是一个定值,并求出这个定值;
(3)当△OPQ与△PAB和△QPB相似时,抛物线y=x 2+bx+c经过B、P两点,过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N,当线段MN的长取最大值时,求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比.
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【题目】嘉善县将开展以“珍爱生命,铁拳护航”为主题的交通知识竞赛,某校对参加选拔赛的若干名同学的成绩按A,B,C,D四个等级进行统计,绘制成如下不完整的频数统计表和扇形统计图
成绩等级 | 频数(人数) | 频率 |
A | 4 | 0.08 |
B | m | 0.52 |
C | n | |
D | ||
合计 | 1 |
(1)求m= ,n= ;
(2)在扇形统计图中,求“C等级”所对应圆心角的度数;
(3)“A等级”的4名同学中有3名男生和1名女生,现从中随机挑选2名同学代表学校参加全县比赛,请用树状图法或列表法求出恰好选中“一男一女”的概率.
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【题目】老张用400元购买了若干只种兔,老李用440元也购买了相同只数的种兔,但单价比老张购买的种兔的单价贵5元.
(1)老张与老李购买的种兔共有多少只?
(2)一年后,老张养兔数比买入种兔数增加了2只,老李养兔数比买入种兔数的2倍少1只,两人将兔子全部售出,则售价至少为多少元时,两人所获得的总利润不低于960元?
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,A(﹣3,2),B(0,1),将线段AB沿x轴的正方向平移n(n>0)个单位,得到线段A′,B′恰好都落在反比例函数y(m≠0)的图象上.
(1)用含n的代数式表示点A′,B′的坐标;
(2)求n的值和反比例函数y(m≠0)的表达式;
(3)点C为反比例函数y(m≠0)图象上的一个动点,直线CA′与x轴交于点D,若CD=2A′D,请直接写出点C的坐标.
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【题目】已知矩形ABCD的一边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处.
(1)如图1,已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA.求证:△OCP∽△PDA;
(2)若图1中△OCP与△PDA的面积比为1:4,求边AB的长
(3)如图2,在(2)的条件下,擦去折痕AO、线段OP,连接BP,动点M在线段AP上(点M与点P、A不重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连接MN交与PB点F,作ME⊥BP于点E,试问当点M、N在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化?若变化,说明理由;若不变,求出线段EF的长度.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,∠A=2∠BCD,点E在AB的延长线上,∠AED=∠ABC
(1)求证:DE与⊙O相切;
(2)若BF=2,DF=,求⊙O的半径.
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