Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线y=，经过点A（1，3）、B（0，1），过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点C．

（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；

（2）如图，点G是BC上方抛物线上的一个动点，分别过点G作GH⊥BC于点H、作GE⊥x轴于点E，交BC于点F，在点G运动的过程中，△GFH的周长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=，顶点坐标为：；（2）存在，最大值为：.

【解析】

（1）根据待定系数法求解即可；

（2）先根据题意得出点C的坐标，从而得出直线BC的方程，求出BC的长，再根据△BCI∽△FGH得出，从而，G(m, )，则F(m, )得出，当m=2时，△GFH的周长有最大值．

（1）∵抛物线y=过点A（1，3）、B（0，1），

∴，解得：，

即抛物线的表达式为：y=，

y=

=，

∴顶点坐标为：；

（2）∵A（1，3），由对称轴可知C（4，3）

由B（0，1）、C（4，3），

得直线BC的解析式为：，BC=，

由题意知，∠ACB=∠FGH，

延长CA与y轴交于点I，则I（0，3）

∴BI=2，CI=4，

由△BCI∽△FGH，得：,

即，

∴，，

即△GFH的周长为：C=FH+GH+FG=，

设G(m, )，则F(m, )，

∴C=

=

=

∴当m=2时，△GFH的周长有最大值，最大值为：.