Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝与x轴交于A，C（A在C的左侧），点B在抛物线上，其横坐标为1，连接BC，BO，点F为OB中点．

（1）求直线BC的函数表达式；

（2）若点D为抛物线第四象限上的一个动点，连接BD，CD，点E为x轴上一动点，当△BCD的面积的最大时，求点D的坐标，及|FE﹣DE|的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+；（2）D（，﹣），|FE﹣DE|的最大值为．

【解析】

（1）先求出B、C的坐标，利用待定系数法求解即可；

（2）三角形面积最值转换成求DH的最大值，然后利用二次函数的求最值问题解决点D的坐标，|FE﹣DE|的最大值，可将点D和点F转换到x轴的同一侧，再利用共线时差值最大求出线段长度即可．

（1）在y＝中，当y＝0，解得：x1＝，x2＝，

∴A（，0），C（，0）

当x＝1时，y＝2

即B（1，2），

设直线BC的解析式为y＝kx+b

得：，

解得，

直线BC的解析式为y＝x+.

（2）设点D（m，），则点H（m，m+）

过点D作DH⊥x轴交BC于点H，

HD＝m+﹣（）

＝，

S△BCD=×DH×（xC－xB）

=DH，

∴当m＝时，HD取最大值，此时S△BCD的面积取最大值．

此时D（，﹣）.

作D关于x轴的对称点D′

则D′（，），

连接D′H交x轴于一点E，此时|D′E﹣FE|最大，最大值为D′F的长度，

∵F（，）

∴D′F＝，

即|FE﹣DE|的最大值为．