Question

如图，M、N是平行四边形ABCD对角线BD上两点．
（1）若BM=MN=DN，求证：四边形AMCN为平行四边形；
（2）若M、N为对角线BD上的动点（均可与端点重合），设BD=12cm，点M由点B向点D匀速运动，速度为2（cm/s），同时点N由点D向点B匀速运动，速度为a（cm/s），运动时间为t（s）．若要使四边形AMCN为平行四边形，求a的值及t的取值范围．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质

专题：动点型

分析：（1）首先连解AC，AC交BD于O，易证得AC、MN互相平分；即可判定四边形AMCN为平行四边形；
（2）由要使四边形AMCN为平行四边形，即OM=ON，可得a=2；又由当M、M重合于点O，即t=

BD

a+2

=

12

4

=3时，则点A、M、C、N在同一直线上，不能组成四边形，且当点M由A运动到点D时，t=12÷2=6，即可求得答案．

解答：（1）证明：连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BM=DN，
∴OB-BM=OD-DN，
∴OM=ON，
∴四边形AMCN为平行四边形；

（2）解：要使四边形AMCN为平行四边形，即OM=ON，
∴a=2；
∵当M、M重合于点O，即t=

BD

a+2

=

12

4

=3时，则点A、M、C、N在同一直线上，不能组成四边形，且当点M由A运动到点D时，t=12÷2=6，
∴当0≤t＜3或3＜t≤6时，四边形AMCN为平行四边形．

点评：此题考查了平行四边形的性质与判定．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．