Question

12．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F．已知AC=8，BC=6．
（1）求$\frac{DF}{DE}$的值；
（2）求四边形DECF的面积．

Answer 1

分析 （1）首先证明四边形EDFC是矩形，可得DE=CF，然后再证明△CDF∽△ABC，可得$\frac{DF}{CF}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，进而可得$\frac{DF}{DE}$的值；
（2）首先利用直角三角形的面积计算出CD长，再设CF=4x，DF=3x，根据勾股定理可得（4x）²+（3x）²=（$\frac{24}{5}$）²，解方程可得x的值，然后可得DF、CF的长，进而可算出四边形DECF的面积．

解答 解：（1）∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴四边形EDFC是矩形，
∴DE=CF，
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，
∴∠A+∠ACD=90°，
∵∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠DCB，
∵∠ACB=∠DFC=90°，
∴△CDF∽△ABC，
∴$\frac{DF}{CF}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{DF}{DE}$=$\frac{3}{4}$；

（2）∵AC=8，BC=6，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴CD=$\frac{AC×CB}{AB}$=$\frac{24}{5}$，
设CF=4x，DF=3x，
（4x）²+（3x）²=（$\frac{24}{5}$）²，
解得：x=$\frac{24}{25}$，
∴CF=4×$\frac{24}{25}$=$\frac{96}{25}$，DF=3×$\frac{24}{25}$=$\frac{72}{25}$，
∴四边形DECF的面积为：$\frac{96}{25}$×$\frac{72}{25}$=$\frac{6912}{625}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的性质和判定，以及勾股定理的应用，关键是正确判定四边形EDFC是矩形得到DE=CF．