Question

7．在图1、图2中，直线MN与线段AB的延长线或AB交于点O，点C和点D在直线MN上，且∠ACM=∠BDM=45°，
（1）在图1中，点O在AB的延长线上，且AO=3BO，写出AC与BD的数量关系与位置关系并证明；
（2）在图2中，点O在AB上，且AO=BO，写出AC与BD之间的数量关系与位置关系并证明．

Answer 1

分析 （1）由∠ACM=∠BDM=45°得出BD∥AC，得出△ACO∽△BEO，利用对应边成比例得出答案即可；
（2）过B作BE⊥BD交OD于点E，易证∠BED=45°，可得AC⊥BD，∠OEB=∠ACO=135°，即可证明△ACO≌△BEO，可得AC=BE，即可解题．

解答 证明：（1）∵∠ACM=∠BDM=45°，
∴BD∥AC，
∴△ACO∽△BEO，
∴$\frac{BO}{AO}$=$\frac{BD}{AC}$，
又∵AO=3BO，
∴$\frac{BD}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
即AC=3BD．
（2）过B作BE⊥BD交OD于点E，

∵∠ACM=∠BDM=45°，BE⊥BD，
∴∠BED=∠BDM=45°，
∴BE=BD，∠OEB=∠ACO=135°，
∴AC∥BE，
∵BE⊥BD，
∴AC⊥BD，
在△ACO和△BEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACO=∠BEO}\\{∠AOC=∠BOE}\\{AO=B0}\end{array}\right.$，
∴△ACO≌△BEO，（AAS）
∴AC=BE，
∴AC=BD．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，掌握判定方法是解决问题的关键．