Question

2．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P₁（x₁，y₁）与P₂（x₂，y₂）的“超级距离”，给出如下定义：
记点Q为垂直于y轴的直线P₁Q与垂直于x轴的直线P₂Q的交点，若（x₁-x₂）²≥（y₁-y₂）²，则点P₁与点P₂的“超级距离”为（x₁-x₂）²，即为线段P₁Q长度的平方；若（x₁-x₂）²＜（y₁-y₂）²，则点P₁与点P₂的“超级距离”为（y₁-y₂）²，即为线段P₂Q长度的平方．
（1）如果点P₁（1，2），点P₂（3，5），求点P₁与点P₂的“超级距离”．
（2）已知C（x，y）是直线y=$\frac{3}{4}$x+3上的一个动点，点D的坐标是（0，1），
①如图2，求点C与点D的“超级距离”的最小值及相应的点C的坐标；
②当点C与点D的“超级距离”为x²时，直接写出点C的横坐标的取值范围；
③如图3，以原点O为圆心，OD长为半径画圆，若E是圆O上的一个动点，是否存在着点E、C，使点C与点E的“超级距离”取最小值，若存在，请在图3中画出点E、C的位置并写出画图步骤．

Answer 1

分析 （1）根据“超级距离”的定义进行解答即可；
（2）①先确定出C点的位置，由C在直线y=$\frac{3}{4}$x+3上，设出C点坐标，由条件可求得C点坐标及“超级距离”的最小值；
②根据函数图象上的点满足函数解析式，可得C点坐标，E点坐标，根据“超级距离”的定义，可得答案；
③根据“垂线段最短”和切线的性质作出图形．

解答 解：（1）因为（1-3）²＜（2-5）²，所以点P₁与点P₂的“超级距离”为（2-5）²=9；

（2）①如答图1，过点C作x轴的垂线，过点D作y的垂线，两条垂线交于点M，连结CD．
如图1，当点C在点D的左上方且使△CMD为等腰直角三角形时，点C与点D的“超级距离”最小．理由如下：
记此时C所在位置的坐标为$（{x_0}，\frac{3}{4}{x_0}+3）$．
当点C的横坐标大于x₀时，线段CM的长度变大，
由于点C与点D的“超级距离”是线
段CM与线段MD长度较大值的平方，所以点C与点D
的“超级距离”变大；当点C的横坐标小于x₀时，线
段MD的长度变大，点C与点D的“超级距离”变大．
所以当点C的横坐标等于x₀时，点C与点D的“超级距
离”最小．
∵CM=$\frac{3}{4}$x₀+3-1，MD=-x₀，CM=DM，
∴$\frac{3}{4}$x₀+3-1=-x₀，
解得${x_0}=-\frac{8}{7}$．
∴点C的坐标是$（-\frac{8}{7}，\frac{15}{7}）$．
∴$CM=MD=\frac{8}{7}$．
综上所述，当点C的坐标是$（-\frac{8}{7}，\frac{15}{7}）$时，点C与点D的“超级距离”最小，最小值是$\frac{8}{7}$．
②当点C的横坐标的取值范围为x≤$-\frac{8}{7}$或x≥8时，点C与点D的“超级距离”为x²．
③存在着点E、C，使点C与点E的“超级距离”取最小值．如答图2，只要将直线$y=\frac{3}{4}x+3$沿着y轴的负方向平移$\frac{7}{4}$单位长度时，此时直线与圆O在第二象限内相切，切点即为所求点E．再过点E作y轴的垂线EN，以E N为边画∠NER=45°，ER与直线HG交于点C，则点C为所求的点．

点评 本题考查了一次函数综合题．对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件．本题中的“超级距离”的定义是正确解题的关键．