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【题目】如图矩形ABCD,AB=12,BC=8,EF分别为ABCD的中点,PQA. C同时出发,在边ADCB上以每秒1个单位向DB运动,运动时间为t(0<t<8).

(1)如图1,连接PEEQQFPF,求证:无论t0<t<8内取任何值,四边形PEQF总为平行四边形;

(2)如图2,连接PQCEG,若PG=4QG,求t的值;

(3)在运动过程中,是否存在某时刻使得PQCEG?若存在,请求出t的值:若不存在,请说明理由

【答案】(1)见解析;(2);(3)不存在,理由见解析.

【解析】

1)由矩形的性质得出CD=AB=12AD=BC=8,∠A=B=C=D=90°,由SAS证明△APE≌△CQF,得出PE=QF,同理:PF=QE,即可得出结论;

2)根据题意得:AP=CQ=t,∴PD=QB=8-t,作EFBCCDE,交PQH,证出EH是梯形ABQP的中位线,由梯形中位线定理得出EH= AP+BQ=4,证出GHGQ=32,由平行线得出△EGH∽△CGQ,得出对应边成比例 ,即可得出t的值;

3)由勾股定理求出CE= =10,作EMBCPQM,由(2)得:ME=4,证出△GCQ∽△BCE,得出对应边成比例求出CG=t,得出EG=10- t,由平行线证明△GME∽△GQC,得出对应边成比例,求出t=0t=8.5,即可得出结论.

(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,

CD=AB=12,AD=BC=8,A=B=C=D=90°

EF分别为ABCD的中点,

AE=BE=6DF=CF=6

AE=BE=DF=CF

∵点PQA. C同时出发,在边ADCB上以每秒1个单位向DB运动,

AP=CQ=t

在△APE和△CQF,

∴△APE≌△CQF(SAS),

PE=QF

同理:PF=QE

∴四边形PEQF总为平行四边形;

(2)根据题意得:AP=CQ=t

PD=QB=8t

EFBCCDE,交PQH,如图2所示:

FCD的中点,HPQ的中点,EF=BC=8

EH是梯形ABQP的中位线,

EH= (AP+BQ)=4

PG=4QG

GH:GQ=3:2

EFBC

∴△EGH∽△CGQ

= ,4t=

解得:t=

∴若PG=4QG,t的为 ;

(3)不存在,理由如下:

∵∠B=90°BE=6BC=8

CE= =10

EMBCPQM,如图3所示:

(2)得:ME=4

PQCE

∴∠CGQ=90°=B

∵∠GCQ=BCE

∴△GCQ∽△BCE

,=

CG=t

EG=10t

EMBC

∴△GME∽△GQC

,

解得:t=0t=8.5

0<t<8

∴不存在。

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(2)连接CD,根据直径所对的圆周角是直角,即可得 利用勾股定理即可求得的长,又由OEAB,证得根据相似三角形的对应边成比例,即可求得的长,然后利用三角函数的知识,求得的长,然后利用SADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF求得答案.

试题解析:(1)证明:连接OD

OEAB

∴∠COE=CADEOD=ODA

OA=OD,

∴∠OAD=ODA

∴∠COE=DOE

在△COE和△DOE中,

∴△COE≌△DOE(SAS),

EDOD

ED的切线;

(2)连接CD,交OEM

RtODE中,

OD=32,DE=2,

OEAB

∴△COE∽△CAB

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AC是直径,

EFAB

SADF=S梯形ABEFS梯形DBEF

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型】解答
束】
25

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