Question

【题目】已知关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0.

(1)判断方程根的情况;

(2)若方程的两根x1,x2满足(x1-1)(x2-1)=5,求k值;

(3)若△ABC的两边AB,AC的长是方程的两根,第三边BC的长为5,

①则k为何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形?

②k为何值时,△ABC是等腰三角形,并求出△ABC的周长.

Answer 1

【答案】(1) 见解析；(2) k=；(3) 当k=3时,△ABC是等腰三角形,此时△ABC的周长为14;当k=4时,△ABC是等腰三角形,此时△ABC的周长为16.

【解析】

（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△＝1＞0，由此即可得出方程有两个不相等的实数根；

（2）根据根与系数的关系进行解答；

（3）利用分解因式法可求出x1＝k＋1，x2＝k＋2．①不妨设AB＝k＋1，AC＝k＋2，根据BC＝5利用勾股定理即可得出关于k的一元二次方程，解方程即可得出k的值；②根据（1）结论可得出AB≠AC，由此可找出△ABC是等腰三角形分两种情况，分AB＝BC、AC＝BC两种情况考虑，根据两边相等找出关于k的一元一次方程，解方程求出k值，进而可得出三角形的三边长，再根据三角形的周长公式即可得出结论

(1)∵在方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0中，

Δ=b2-4ac=[-(2k+3)]2-4(k2+3k+2)=1>0，

∴方程有两个不相等的实数根；

(2)∵x1+x2=2k+3，x1·x2=k2+3k+2，

∴由(x1-1)(x2-1)=5，得x1·x2-(x1+x2)+1=5，

即k2+3k+2-2k-3+1=5，

整理得k2+k-5=0，

解得k=；

(3)∵x2-(2k+3)x+k2+3k+2=(x-k-1)(x-k-2)=0，

∴x1=k+1，x2=k+2.

①不妨设AB=k+1，AC=k+2，

∴斜边BC=5时，有AB2+AC2=BC2，

即(k+1)2+(k+2)2=25，

解得k1=2，k2=-5(舍去)，

∴当k=2时，△ABC是直角三角形；

②∵AB=k+1，AC=k+2，BC=5，由(1)知AB≠AC，故有两种情况：

(Ⅰ)当AC=BC=5时，k+2=5，

∴k=3，AB=3+1=4，

∵4，5，5满足任意两边之和大于第三边，

∴此时△ABC的周长为4+5+5=14；

(Ⅱ)当AB=BC=5时，k+1=5，

∴k=4，AC=k+2=6，

∵6，5，5满足任意两边之和大于第三边，

∴此时△ABC的周长为6+5+5=16.

综上可知，当k=3时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为14；当k=4时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为16.