Question

【题目】如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.

(1)不管滚动多长时间，求证：连接四个小球所得的四边形PQRS总是正方形．

(2)四边形PQRS在什么时候面积最大？

(3)四边形PQRS在什么时候面积为原正方形面积的一半？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）当P，Q，R，S在出发时或在到达终点时面积最大；（3）当P，Q，R，S四点运动到正方形ABCD各边中点时，四边形PQRS的面积为原正方形面积的一半.

【解析】试题分析： 根据已知可确定 进而根据正方形的性质，可判定 之间是否全等，从而可初步判断四边形 的形状，判断出四边形为菱形后，只需证明其中有一个角等于 ，便可证明四边形为正方形.

当 在出发时或在到达终点时面积最大，此时的面积就等于原正方形的面积．

当四点运动到正方形四边中点时，四边形的面积是原正方形 面积的一半．

试题解析：∵四边形 是正方形，

.

又∵不管滚动多长时间，

∴不管滚动多长时间，四边形是菱形．又

∴不管滚动多长时间，四边形总是正方形．

当 在出发时或在到达终点时面积最大，此时的面积就等于原正方形的面积．

当四点运动到正方形四边中点时，四边形的面积是原正方形面积的一半．

理由：设原正方形 的边长为

当时，在 中，

由勾股定理，得

即

解得 同理可得

∴当四点运动到正方形各边中点时，四边形的面积为原正方形面积的一半．