如图.在平面直角坐标系中.正比例函数y=x和反比例函数y=$\frac{9}{x}$的图象交于第一象限内点A(1)求点A的坐标,(2)把直线OA向下平移m个单位后与反比例函数y=$\frac{9}{x}$的图象交于点B(6.n).求m的值和这个一次函数的解析式,问中平移后的一次函数的图象与x轴.y轴分别交于C.D两点.过A.B.D三点的二次函数在第一象限的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

18．

如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=x和反比例函数y=$\frac{9}{x}$的图象交于第一象限内点A
（1）求点A的坐标；
（2）把直线OA向下平移m个单位后与反比例函数y=$\frac{9}{x}$的图象交于点B（6，n），求m的值和这个一次函数的解析式；
（3）若第（2）问中平移后的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D两点，过A、B、D三点的二次函数在第一象限的图象上有一点E，且△OEC的面积为$\frac{27}{8}$，求点E的坐标．

分析（1）设出正比例函数和反比例函数的解析式，用待定系数法解答；
（2）因为B点为三个函数的交点，将B（6，m）代入已知函数y=$\frac{9}{x}$，即可求得m的值；根据一次函数和正比例函数平行，可知二者比例系数相同，再用待定系数法求出b的值；
（3）A、B坐标已求出，D点坐标可根据一次函数解析式求得；画出图形，设E点纵坐标为h，代入二次函数解析式求出E点横坐标即可．

解答解：（1）设正比例函数的解析式为y=k₁x（k₁≠0），
因为y=k₁x的图象过点A（3，3），
所以3=3k₁，解得k₁=1．
这个正比例函数的解析式为y=x．
设反比例函数的解析式为y=$\frac{{k}^{2}}{x}$（k₂≠0），
因为y=$\frac{{k}^{2}}{x}$ 的图象过点A（3，3），
所以3=$\frac{{k}^{2}}{3}$，
解得k₂=9．
这个反比例函数的解析式为y=$\frac{9}{x}$．

（2）因为点B（6，n）在y=$\frac{9}{x}$的图象上，
所以n=$\frac{9}{6}$=$\frac{3}{2}$，
则点B（6，$\frac{3}{2}$）．
设一次函数解析式为y=k₃x+b（k₃≠0），
因为y=k₃x+b的图象是由y=x平移得到的，
所以k₃=1，即y=x+b．
又因为y=x+b的图象过点B（6，$\frac{3}{2}$ ），
所以$\frac{3}{2}$=6+b，
解得b=-$\frac{9}{2}$，
∴一次函数的解析式为y=x-$\frac{9}{2}$．

（3）如图，因为y=x-$\frac{9}{2}$的图象交y轴于点D，
所以D的坐标为（0，-$\frac{9}{2}$）．
设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0）．
因为y=ax²+bx+c的图象过点A（3，3）、B（6，$\frac{3}{2}$）、和D（0，-$\frac{9}{2}$），
所以$\left\{\begin{array}{l}9a+3b+c=3\\ 36+6b+c=\frac{3}{2}\\ c=-\frac{9}{2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=4\\ c=-\frac{9}{2}\end{array}\right.$，
这个二次函数的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+4x-$\frac{9}{2}$．
∵y=x-$\frac{9}{2}$交x轴于点C，
∴点C的坐标是（$\frac{9}{2}$，0），
设E点纵坐标为h，
则$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$h=$\frac{27}{8}$，
解得h=$\frac{3}{2}$，
当y=$\frac{3}{2}$时，-$\frac{1}{2}$x²+4x-$\frac{9}{2}$=$\frac{3}{2}$，
整理得，x²-8x+12=0，
解得，（x-2）（x-6）=0，
x₁=2，x₂=6，
∴E点坐标为（2，$\frac{3}{2}$），（6，$\frac{3}{2}$）．

点评本题考查了反比例函数综合题，将初中所学三个主要函数：一次函数（含正比例函数）、反比例函数、二次函数结合起来，考查了用待定系数法求函数解析式、函数与坐标的关系及不规则图形面积的求法，综合性较强，难度适中．

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