Question

如图，已知一次函数与坐标轴交于A、B点，AE是∠BAO的平分线，过点B作BE⊥AE，垂足为E，过E作x轴的垂线，垂足为M．
（1）求证：M为OB的中点；
（2）求以E为顶点，且经过点A的抛物线解析式．

Answer 1

解法一：
（1）证明：延长BF交y轴于F点．如图：
∵AE是∠BAO的平分线，
∴∠1=∠2，
∵BE⊥AE，
∴∠AFB=∠ABF，
∴AF=AB，（1分）
∴BE=FE，（1分）
∵ME∥AF，
∴，（1分）
∴OM=MB，即M为OB的中点；（1分）

（2）解：∵一次函数y=-x+6与坐标轴交于A、B点，
∴A（0，6），B（8，0），
∴OM=4，AB=AF=10，（2分）
∴OF=4，
∴ME=2，（1分）
∴E（4，-2），（1分）
设以E为顶点的抛物线解析式为y=a（x-4）²-2，（1分）
∵抛物线经过点A（0，6），
∴a=，（1分）
即以E为顶点，且经过点A的抛物线解析式为y=（x-4）²-2或y=x²-4x+6；

解法二：
如图2，过H作HG⊥AB于G点，（1分）
∵一次函数y=-x+6与坐标轴交于A、B点
∴A（0，6），B（8，0），（1分）
设OH=x，∵∠1=∠2，
∴OH=HG=x，HB=8-x（1分）
∴在Rt△HGB中，得x=3（1分）
∴OH=3，HB=5
由△AOH∽△BEH得：HE=，BE=2，（2分）
∴ME==2，HM=1，
∴OM=4，（2分）
∴M为OB的中点，
∴E（4，-2），（1分）
设以E为顶点的抛物线解析式为y=a（x-4）²-2，（1分）
∵抛物线经过点A（0，6），
∴a=，（1分）
即以E为顶点，且经过点A的抛物线解析式为y=（x-4）²-2或y=x²-4x+6．
分析：（1）延长BF交y轴于F点，又由AE是∠BAO的平分线，易得ME∥AF，根据平行线分线段成比例定理，即可得OM=MB，即M为OB的中点；
（2）由一次函数y=-x+6与坐标轴交于A、B点，求得A与B的坐标，则可得OM、AB与AF的值，求得E的坐标，然后设以E为顶点的抛物线解析式为y=a（x-4）²-2，由待定系数法即可求得以E为顶点，且经过点A的抛物线解析式．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，点与函数的关系以及平行线分线段成比例定理等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．