Question

如图，△ABC中，∠A=60°，BF、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，并交于点O．求证：OE=OF．

Answer 1

考点：角平分线的性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：根据三角形的内角和定理，得出∠FBC+∠ECB=60°，在△OBC中，即可求出∠BOC=120°，根据对顶角相等即可求出∠FDE的度数，作辅助线在CB上截取CG=CF，可证出△CFO≌△CGO（SAS），即可得出∠FOC=∠GOC，FO=GO，再可证出△BEO≌△BGO，即可得出FO=EO．

解答：证明：在CB上截取CG=CF，连接GO，
由三角形内角和定理，在△ABC中，
2∠FBC+2∠ECB+60°=180°，
解得：∠FBC+∠ECB=60°，
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠FBC+∠ECB）=180°-60°=120°，
∴∠FOE=∠BOC=120°，
在△CFO和△CGO中，

CF=CG ∠FCO=∠GCO CO=CO

∴△CFO≌△CGO（SAS），
∴∠FOC=∠GOC，FO=GO，
由∠BOG+∠GOC=120°，
又∵∠BOG+2∠GOC=180°，
解得：∠BOG=∠GOC=∠FOC=60°
在△BEO和△BGO中，

∠EBO=∠GBO ∠EOB=∠GOB BO=BO

，
∴△BEO≌△BGO（AAS），
∴EO=OG，
∴FO=EO．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，以及全等三角形的性质，难度适中．