Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．
（1）求证：AE=GF；
（2）试探究四边形AEFD是什么特殊四边形？请回答并证明你的结论；
（3）设AE=5，求四边形DEGF的面积．（特别提醒：表示角最好用数字）

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）先根据∠C=60°，DG是梯形ABCD的高，F是CD的中点得出GF=CF．由平行线的性质得出∠BAD=120°，由AB=AD，AE⊥BD于点E可知∠DAE=

1

2

∠BAD=60°，故可得出△DGC≌△DEA，所以AE=CG，由此可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质（三线合一），可得BE=DE，又由F是CD的中点，可得EF是△DBC的中位线，易得四边形AEFD是平行四边形；
（2）由（2）可知：EF⊥DG，所以四边形DEGF的面积=

1

2

EF•DG；根据直角三角形的性质，即可求得EF与DG的长，即可求得四边形的面积．

解答：（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC=∠C=60°．
∵DG是梯形ABCD的高，F是CD的中点，
∴GF=CF，
∴△CGF是等边三角形，
∴GF=CF=CG．
∵AD∥BC，
∴∠BAD=120°．
∵AB=AD，AE⊥BD于点E，
∴∠DAE=

1

2

∠BAD=60°，
在△DGC与△DEA中，
∵

CD=AD ∠C=∠DAE ∠DGC=∠DEA=90°

，
∴△DGC≌△DEA（AAS），
∴AE=CG，即AE=GF；


（2）平行四边形．
证明：∵AB=DC，
∴梯形ABCD为等腰梯形．
∵∠C=60°，
∴∠BAD=∠ADC=120°，
又∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=30°．
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=30°．
∴∠BDC=90°．
由已知AE⊥BD，
∴AE∥DC．
又∵AE为等腰三角形ABD的高，
∴E是BD的中点，
∵F是DC的中点，
∴EF∥BC．
∴EF∥AD．
∴四边形AEFD是平行四边形，

（3）解：在Rt△AED中，∠ADB=30°，
∵AE=5，
∴AD=10．
在Rt△DGC中，
∵∠C=60°，DC=AD=10，
∴DG=CD•sin60°=10×

3

2

=5

3

．
由（1）知：在平行四边形AEFD中EF=AD=10，
又∵DG⊥BC，
∴DG⊥EF，
∴四边形DEGF的面积=

1

2

EF•DG=

1

2

×10×5

3

=25

3

．

点评：本题考查的是四边形综合题，涉及到等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，难度适中．