Question

如图，点P在x轴上，OP=2，以点P为圆心，OP长为半径作圆，已知经过点A（-2，0）的直线l的函数解析式为y=kx+b，当l分别与⊙P相交、相切、相离时，求b的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,一次函数的性质

专题：计算题

分析：先确定l与⊙P相切时的b的值：当l与⊙P相切于B点，直线l交y轴于C点，如图，连结PB，根据切线的性质得PB⊥l，利用含30度的直角三角形三边的关系．在Rt△PBA中得∠PAB=30°，在Rt△AOC中可计算出OC=

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OA=

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，则C点坐标为（0，

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），根据一次函数的性质得到b=

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，；过点A作l′与⊙P相切，与y轴的交点为C′，根据对称得C点坐标为（0，-

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），然后根据直线与圆的位置关系求解．

解答：解：当l与⊙P相切于B点，此时直线l交y轴于C点，如图，连结PB，
则PB⊥l，
在Rt△PBA中，∵PB=PO=2，PA=PO+OA=4，
∴∠PAB=30°，
在Rt△AOC中，∵∠OAC=30°，OA=2，
∴OC=

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OA=

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，
∴C点坐标为（0，

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），
∴b=

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，
过点A作l′与⊙P相切，与y轴的交点为C′，根据对称得C点坐标为（0，-

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），
∴当l与⊙P相切时，b=±

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；
当l与⊙P相交时，-

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＜b＜

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；
当l与⊙P相离时，b＜-

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或b＞

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．

点评：本题考查了直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；直线l和⊙O相离?d＞r．也考查了一次函数的性质和含30度的直角三角形三边的关系．